2022-2023学年湖北省十堰市东风高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省十堰市东风高级中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（       ）

A． B．，

C． D．，

【答案】C

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故命题“，”的否定是“”.

故选：C

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为，，

因此，.

故选：B.

3．在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，，充分性满足，

当时，，不必要．

所以应为充分不必要条件．

故选：B．

4．已知，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数单调性及中间值比大小.

【详解】，且，故，，

故.

故选：B

5．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】先将两函数转化为的形式，计算两者的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.

【详解】因为，，

且，

所以由的图像转化为需要向右平移个单位.

故选：D.

6．若正实数满足，则的（    ）

A．最大值为9 B．最小值为9

C．最大值为8 D．最小值为8

【答案】B

【分析】由1的妙用结合基本不等式可得.

【详解】因为正实数满足，

所以，

当且仅当，即取等号，

所以的最小值为9，无最大值.

故选：B

7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用排除法，结合函数图及性质可得出答案.

【详解】解：对于A，，

所以函数为偶函数，故排除A；

对于D，，故排除D；

对于C，，

则，

所以函数为奇函数，故排除C.

故选：B.

8．已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将方程的根的问题转化为函数的图象与直线有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.

【详解】方程恰有一个实数根，等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．

当得：，

结合函数的图象可知，，

解得：.

故选：D

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】AD选项应用对数运算法则进行计算，B选项利用根式化简法则进行求解；C选项，利用指数运算法则进行计算

【详解】错误，正确的应该是，故A错误；，B选项正确；，C选项正确；，故D选项错误.

故选：BC

10．已知a＞b＞1＞c＞0，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】依题意可得，，再根据对数函数，指数函数、幂函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以，，所以，故A错误；

因为在定义域上单调递增，所以，故B正确；

因为在上单调递减，所以，故C正确；

因为，所以在上单调递减，所以，故D正确；

故选：BCD

11．已知不等式的解集为则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】根据不等式的解集为，利用三个二次的关系求解.

【详解】因为不等式的解集为，

所以，所以，

令，开口方向向下，

则在上递增，在上递减，且，

所以，

故AD正确；

故选：AD

12．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数关于对称

C．函数在区间上单调递减

D．函数的图象与函数的图象关于直线对称

【答案】BC

【解析】画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.

【详解】，画出函数图像，如图所示：

故函数的最小正周期为，关于对称，区间上单调递减.

且函数的图象与函数的图象不关于直线对称.

故选：.

【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用.

三、填空题

13．若函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为      .

【答案】

【分析】因对数函数恒过点，令，求出，再将所求值代入表达式求，即可求出定点坐标.

【详解】令，得.又，所以的图象经过定点.

故答案为：

14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为            ．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.

【详解】解：如图，

依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为

则，则，即．

因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．

故答案为：.

四、双空题

15．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度，现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，乙上下山的速度都是（两人途中不停歇），则甲、乙两人上下山所用时间之比为：      ；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是       （填甲或乙）.

【答案】          乙

【解析】设上山路程为1，求出甲、乙两人上下山所用时间，再计算．

【详解】解：设上山路程为1，

则甲上下山所用时间为，乙上下山所用时间为，

∴甲、乙两人上下山所用时间之比为；

∵，

∴，

∴，即乙上下山所用时间之和最少；

故答案为：；乙．

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．

五、填空题

16．已知函数，若当方程有四个不等实根､､､，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为           .

【答案】

【分析】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对数函数的性质可得，，，，再应用参变分离有恒成立，构造，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.

【详解】当时，，

∴，如下图示：

∴､､､对应A、B、C、D的横坐标，

由，故，则，，

∴，，，

由分离参数得：，

设，

令，则，，则，再令（）

则，

∴（当且仅当时取“=”），

∴，即，

∴，即实数的最小值为.

故答案为：.

六、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】（1）．

当时，

所以，；

（2）是的充分不必要条件

∴A是B的真子集，故

即

所以实数m的取值范围是.

18．已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）对条件两边平方，结合同角三角函数平方关系求出结果；（2）先用诱导公式进行化简，结合第一问求解的的值，求出结果.

【详解】（1），，

两边平方得：，

，

（2）原式，

，

，

由，知，，

，故

19．定义域均为的奇函数与偶函数满足．

(1)求函数与的解析式；

(2)证明：；

(3)试用，，，表示与．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)，

【分析】（1）由题意可得：，再根据函数的奇偶性可得：，进而结合两个式子求出两个函数的解析式．

（2）由（1）可得的表达式，再利用基本不等式把进行化简整理即可得到答案．

（3）由（1）可得、、、、与的表达式与结构特征，进而可求

【详解】（1）解：①

，

为奇函数，为偶函数

，

②

由①，②解得，．

（2）解：

，当且仅当，即时取等号；

所以

（3）解：，．

．

即，；

20．已知函数的部分图象如图．

(1)求f（x）的表达式；

(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；

（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．

【详解】（1）根据图象，可得，，

∴

∴，将代入f（x），得，

即，，

又，∴，

∴．

（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，

由题得，

∵在[0，]上有两个不同的实数解，

∴在[0，]上有两个不同的实数解．

∵，

令，

∴，

则需直线与的图象在有两个不同的公共点．

画出在时的简图如下：

∴实数m的取值范围是．

21．已知函数，.

(1)若函数为奇函数，求实数a的值；

(2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可得，即可得解；

（2）根据题意使得在的值域包含在上的值域即可.

【详解】（1）为奇函数，，

，此时，经验证符合题意；

（2），

令，，，

记，，

易知在[2，4]上单调递增，

故，

另外当时，

由题意：，

所以的取值范围为.

22．已知函数

(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；

(2)已知集合

①求集合；

②当时，函数的最小值为，求实数的值．

【答案】(1)

(2)①；②的值为或5

【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；

（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；

②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，当时，，

当时，，则，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以，，

所以，

（2）解：①，即

所以，

所以，，解得

所以，

②

由①可得

所以，函数等价转化为，，

下面分三种情况讨论求解：

当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；

当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；

当，即时，，解得或（舍）

综上：的值为或5