2022-2023学年福建省晋江市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省晋江市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，四象限，，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省晋江市第二中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解指数不等式即可求出集合A，即可判断；【详解】解：因为，即，所以，所以，，∴，；故选：D2．设，，，则，，的大小关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把它们和0，1比较，可得出结果．【详解】解：，，，则，故选：A．【点睛】本题考查指数，对数比较大小，属于基础题．3．已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.【详解】因为点在第三象限，所以，由，可得角的终边在第二、四象限，由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，所以角终边位置在第二象限，故选：B.4．若关于的不等式的解集是，则 （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解．【详解】关于的不等式的解集是，，是方程的两根，，解得，，故选：B．5．若，化简（　       　）A． B． C． D．【答案】D【分析】由诱导公式、平方关系化简，结合角的范围可得结论．【详解】.由于，所以.所以原式.故选：D.6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出结论．【详解】由题意，p＝10，S8，∴此三角形面积的最大值为8．故选C．【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．7．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是（    ）．A．B．C．D．【答案】C【详解】因为当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，故可排除A,D；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除B.故选：C．【点睛】本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解．解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由轴分析轴，并借助排除法求解．8．设函数，若，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数图像，数形结合可求出的范围,即可求解.【详解】函数图像如图：，且   故选：D 二、多选题9．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的有（    ）A． B．C．y＝x2－1 D．y＝x3【答案】BC【分析】根据函数的定义域和与的关系判断函数的奇偶性，从而排除选项D；选项A中的函数通过去掉绝对值判断函数的单调性；选项C中的函数通过幂函数的性质判断单调性.【详解】选项A：令， 则，所以是偶函数，又时，，在上是减函数，故A错误；选项B：令，则，所以是偶函数，并且在区间上是增函数，故B正确；选项C：令f(x)＝x2－1，则f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，且在区间上是增函数，故C正确；选项D：令f(x)＝x3，则f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，是奇函数，故D错误．故选：BC.10．下列选项中，说法正确的是（    ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若假命题，则，均为假命题D．若，，则【答案】ABD【解析】对于A，命题的条件和结论互换，并且都否定可得命题的逆否命题；对于B，利用充分条件和必要条件的定义判断即可；对于C，由假命题，可得，中至少有一个是假命题；对于D，利用不等式的性质判断【详解】解：对于A，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确；对于B，当时，，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确；对于C，若假命题，则，中至少有一个是假命题，所以C错误；对于D，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD11．下列选项中，值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】把每个选项中的式子的值算出来即可【详解】，故A满足，故B满足，故C不满足，故D不满足故选：AB【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.12．对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是A． B． C． D．【答案】ABD【分析】逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确.【详解】A.是单调递增函数,若存在区间， 使 ，解得，，所以存在区间 满足②，所以A正确，是“和谐区间”；B.在和都是单调递增函数，所以设或，满足 ，解得 ，所以存在区间满足条件，所以B正确；C.时单调递增函数,若存在区间，，使 ，即有两个不等实数根，但与相切于点，没有两个不等实数根，所以不正确，C不正确；D.是单调递增函数,定义域是 ，若存在区间，，使 ，即有两个不等实数根，转化为 即与有两个不同的交点，满足条件，所以D正确.故选ABD.【点睛】本题重点考查了判断函数零点个数的方法，一是可以直接求方程的实数根，即是函数的零点，二是转化成两个函数的交点，通过数形结合判断零点个数，或是根据零点个数判断参数的取值范围. 三、填空题13．求值：   ．【答案】【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可．【详解】，故答案为：．14．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为          ．【答案】6【详解】扇形的周长为15．用二分法求方程在区间上零点的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是          ．【答案】【解析】在上单调递增，且，，取区间中点，判断的正负，采取化简为同底对数比较大小，再根据零点存在性定理，即可求解【详解】在上单调递增，，，，因为，则，所以，则，所以下一个含根区间应该为．故答案为： 四、双空题16．已知函数，则函数的最小值为     ，方程的解为           ．【答案】     1     【分析】由基本不等式得到的最小值，从而得到的解.【详解】的定义域为，故，，当且仅当，即时，等号成立，，解得或1，由于，故无解，当时，，故的解为.故答案为：1；. 五、解答题17．已知全集，非空集合，．(1)当时，求；(2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1），当时，，  再运用交、补集的运算，计算求解即可；（2）由已知可得，故，计算求解即可得到结论．【详解】（1）不等式的解集为所以，当时，，化简得，  全集，或，∴；（2）由q是p的必要条件，可得，所以，因为 所以，所以不等式的解集为，所以，，解得或， 所以 实数a的取值范围是.18．设函数，.(1)求的值；(2)若，求取值范围；(3)求的最值，并给出最值时对应的的值.【答案】(1)(2)(3)当时，函数取最小值，最小值为，当时，函数取最大值，最大值为． 【分析】（1）将直接代入，结合对数运算可得结果；（2）由已知结合对数函数性质可得 ，化简即可（3）化简可得，令，则，利用二次函数性质求最值即可．【详解】（1）因为所以；（2）因为，所以，又 ，所以，即；（3）由已知，令，则，当即时，函数取最小值，最小值为，当，即时，函数取最大值，最大值为．19．已知点在角的终边上，且 .（1）求值：；（2）若，且，求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到；（1）原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得，求出，再利用，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果.【详解】由题意：，，，且，（1）；（2）∵，，∴，∴，∴，，∵，∴.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.20．水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据： ）（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有，求解即可．【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.    则有，    解得 ，（Ⅱ）当时， 该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有 答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.21．（1）证明：若，求证：；（2）已知，均为锐角，且满足，，求值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由条件，结合两角差正切公式可得，再由同角三角函数关系和二倍角公式化简得结果；（2）由条件结合二倍角余弦公式，二倍角正弦公式，两角和的余弦公式化简可得，结合余弦函数性质可求．【详解】∵，∴，∴∴∴，，，，，、式两式相除得：，，即，又，均为锐角，∴.22．已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：要使上式对任意恒成立，则且解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，，所以.①，对任意，，且有：，因为，所以，所以，因此在上单调递增，因为，当时成立，所以，当时成立，即，当时成立，当时，，所以.②因为，所以，所以，不等式恒成立，即，令，因为且，所以，即，所以，当时恒成立，即，当时恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、利用函数单调性解不等式以及基本不等式，属于难题.