(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第6章 第3讲　平面向量的数量积及应用举例 (2份打包，原卷版+教师版)

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第3讲　平面向量的数量积及应用举例


一、知识梳理
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.
[注意]　当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
[注意]　投影和两向量的数量积都是数量，不是向量.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4.平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线.
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线.
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a﹣b)＝a2﹣b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝﹣|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝﹣12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A.12 B.6 C.3 D.3
解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos 135°＝﹣12，所以|b|＝6.

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c).(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误.
1.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________.
解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝.
所以·＝||||cos(π﹣A)＝﹣||||·cos A＝﹣3×2×＝﹣.
答案：﹣
2.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝﹣2.
答案：﹣2
3.已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a﹣λb)，则实数λ＝________.
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a﹣λb)，所以a·(a﹣λb)＝|a|2﹣λa·b＝1﹣＝0，所以λ＝2.
答案：2

考点一　平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
核心素养：数学运算、数学抽象
(一题多解)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
【解析】　法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，
则·＝(﹣)·(＋)＝·＋·﹣﹣·
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°﹣12﹣2×2×cos 150°＝15﹣10﹣12＋6＝﹣1.
法二：在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，
所以cos∠ABD＝＝﹣，则sin∠ABD＝.
设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°﹣∠ABD＋30°)＝﹣cos(∠ABD﹣30°)
＝﹣cos∠ABD·cos 30°﹣sin∠ABD·sin 30°＝﹣，
在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×(﹣)＝﹣1.
【答案】　﹣1

求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.　
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解.

1.已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m﹣2，﹣1)，若a∥b，则b·c＝(　　)
A.﹣7 B.﹣3 C.3 D.7
解析：选B.因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)﹣2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m﹣2)﹣(m＋3)＝﹣3，故选B.
2.已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3
解析：选C.因为＝﹣＝(3，t)﹣(2，3)＝(1，t﹣3)，因为||＝1，
所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
3.(一题多解)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·＝(　　)
A.﹣18 B.﹣6 C.18 D.6
解析：选C.通解：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(﹣)·＝2＝18，故选C.

优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2).由题意得∠CBA＝，又＝，所以D＝(﹣1，3)，则·＝(﹣1，3)·(0，2)＝18，故选C.
优解二：因为∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2，所以在上的投影为2，又＝，所以在上的投影为×2＝3，则在上的投影为3，所以·＝||·||cos〈，〉＝2×3＝18，故选C.
考点二　平面向量数量积的应用(基础型)
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
核心素养：数学运算、逻辑推理


角度一　求两平面向量的夹角
(1)(一题多解)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a﹣b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知向量＝(x，1)(x＞0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　(1)法一：由题意得，(a﹣b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，所以|a||b|·cosa，b＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cosa，b＝|b|2⇒cosa，b＝，所以a，b＝，故选B.
法二：如图，设＝a，＝b，则＝a﹣b，所以B＝，||＝2||，所以∠AOB＝，即a，b＝.

(2)因为＝﹣＝(1﹣x，1)，所以||2＝(1﹣x)2＋1＝5，
即x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1(舍).设，的夹角为θ，
则cos θ＝＝，所以θ＝.
【答案】　(1)B　(2)C

求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系.
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .　
角度二　求平面向量的模
(1)(一题多解)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1﹣e2|＝________.
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，﹣2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[﹣，2]时，|a﹣tb|的取值范围是________.
【解析】　(1)法一：|e1＋e2|＝，两边平方，得e＋2e1·e2＋e＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1﹣e2|2＝e﹣2e1·e2＋e＝1，所以|e1﹣e2|＝1.
法二：如图，设＝e1，＝e2，又e1，e2是单位向量，所以||＝||＝1，

以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以＝e1＋e2，＝e1﹣e2，因为|e1＋e2|＝，即||＝，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以||＝1，即|e1﹣e2|＝1.
(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，﹣2)，且a⊥b，所以x﹣2＝0，解得x＝2，所以|a|＝＝.
|a﹣tb|2＝a2＋t2b2﹣2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a﹣tb|的取值范围是[，5].
【答案】　(1)1　(2)　[，5]

求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝.
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解.
[提醒]　(1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算.
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解.
角度三　两平面向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.　
【解析】　因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝﹣，所以(λ＋)·(﹣)＝0，
即(λ﹣1)·﹣λ2＋2＝0，所以(λ﹣1)||||cos 120°﹣9λ＋4＝0.
所以(λ﹣1)×3×2×(﹣)﹣9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】　






两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a﹣b|＝|a＋b|.
[注意]　若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.　

1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a﹣b＝(，)，则|a＋2b|＝(　　)
A.2 B.2 C. D.
解析：选C.因为a﹣b＝(，)，所以|a﹣b|＝，
所以|a﹣b|2＝|a|2﹣2a·b＋|b|2＝5﹣2a·b＝5，则a·b＝0，
所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.故选C.
2.已知在四边形ABCD中，＋＝0，(﹣)·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形
解析：选C.因为＋＝0，所以＝﹣＝，所以四边形ABCD是平行四边形.又(﹣)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形.
3.(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
解析：法一：因为2＝，所以E为BC的中点.设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝(＋)·(﹣)＝||2﹣||2＋·＝×22﹣22＝﹣2，
所以cos θ＝＝＝﹣.
法二：因为2＝，所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(﹣2，2)，所以·＝2×(﹣2)＋1×2＝﹣2，故cos θ＝＝＝﹣.

答案：﹣
考点三　向量数量积的综合应用(综合型)
解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A﹣B)，sin(A﹣B))，n＝(cos B，﹣sin B)，且m·n＝﹣.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.
【解】　(1)由m·n＝﹣，得cos(A﹣B)cos B﹣sin(A﹣B)sin B＝﹣，
所以cos A＝﹣.因为0 (2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，则B＝，
由余弦定理得＝52＋c2﹣2×5c×(﹣)，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.

平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(﹣)＝18，求边c的长.
解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π﹣C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(﹣)＝·＝18，所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2﹣2abcos C＝(a＋b)2﹣3ab，所以c2＝4c2﹣3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.

[基础题组练]
1.设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝﹣.
2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a﹣2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)
A. B. C.2 D.
解析：选A.由题意知，a·(a﹣2b)＝a2﹣2a·b＝1﹣2a·b＝0，所以2a·b＝1，
所以|a＋b|＝＝＝.故选A.
3.a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a﹣2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.
解析：选B.设b＝(x，y)，则有a﹣2b＝(2，4)﹣(2x，2y)＝(2﹣2x，4﹣2y)＝(0，8)，
所以，解得，故b＝(1，﹣2)，|b|＝，|a|＝2，
cos〈a，b〉＝＝＝﹣，故选B.
4.已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)
A. B. C.6 D.4
解析：选A.因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，
所以·＝3×2×cos 60°＝3，所以·＝(﹣)·(m＋n)＝(m﹣n)·﹣m||2＋n||2＝3(m﹣n)﹣9m＋4n＝﹣6m＋n＝0，所以＝，故选A.
5.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)
A.在方向上的投影长为﹣
B.·＝·
C.在方向上的投影长为
D.·＝·
解析：选BCD.由＋＋＝0得＝﹣＝，所以四边形OBAC为平行四边形.又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形.因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确.因为·＝·＝﹣2，·＝·＝2，故B，D正确.

6.设向量a＝(﹣1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a﹣b平行，那么a与b的数量积等于________.
解析：a＋2b＝(﹣1＋2m，4)，2a﹣b＝(﹣2﹣m，3)，由题意得3(﹣1＋2m)﹣4(﹣2﹣m)＝0，则m＝﹣，所以a·b＝﹣1×(﹣)＋2×1＝.
答案：
7.已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________.
解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，
则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|﹣|
＝＝＝4.
答案：4
8.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a﹣b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a﹣b)⊥a，
所以(a﹣b)·a＝|a|2﹣a·b＝|a|2﹣|a||b|cos θ＝3﹣2·cos θ＝0，解得cos θ＝.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
答案：　6
9.已知向量a＝(2，﹣1)，b＝(1，x).
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，﹣7)，求向量a与b夹角的大小.
解：(1)由题意得a＋b＝(3，﹣1＋x).
由a⊥(a＋b)，可得6＋1﹣x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x﹣1)＝(4，﹣7)，
故x＝﹣3，所以b＝(1，﹣3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10.在平面直角坐标系xOy中，点A(﹣1，﹣2)，B(2，3)，C(﹣2，﹣1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(﹣t)·＝0，求t的值.
解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(﹣1，1)，则＋＝(2，6)，﹣＝(4，4).
所以|＋|＝2，|﹣|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)法一：由题设知：＝(﹣2，﹣1)，﹣t＝(3＋2t，5＋t).
由(﹣t)·＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(﹣2，﹣1)＝0，
从而5t＝﹣11，所以t＝﹣.
法二：·＝t2，＝(3，5)，t＝＝﹣.




[综合题组练]
1.已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B.3 C.1 D.2
解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)
A.﹣ B.0 C.4 D.﹣1
解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝﹣x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2﹣t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2﹣t)，＝(t，﹣t)，所以·＝t2﹣t(2﹣t)＝2t2﹣2t＝2(t﹣)2﹣，当t＝时，·取得最小值﹣，故选A.

3.设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，﹣2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[﹣，2]时，|a﹣tb|的取值范围是________.
解析：向量a＝(x，1)，b＝(1，﹣2)，且a⊥b，所以x﹣2＝0，解得x＝2，
所以|a|＝＝.
|a﹣tb|2＝a2＋t2b2﹣2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；
当t＝2时，取得最大值为25.即|a﹣tb|的取值范围是[，5].
答案：　[，5]





4.在边长为2的菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，E为线段CD上的任意一点，则·的最大值为________；向量的模的取值范围是________.

解析：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由∠BAD＝60°，|AB|＝2，可知△ABD为正三角形，|AO|＝，|DO|＝1，所以点A(﹣，0)，C(，0)，D(0，1)，B(0，﹣1)，＝(2，0)，＝(，1).因为D，E，C三点共线，所以＝x＋(1﹣x)，0≤x≤1，即＝x(2，0)＋(1﹣x)(，1)＝((1＋x)，1﹣x)，＝(0，2)，所以·＝2(1﹣x).又0≤x≤1，所以0≤·＝2(1﹣x)≤2，故·的最大值为2.
||＝＝＝2，又0≤x≤1，故向量的模的取值范围是[2，2].
答案：2　[2，2]
5.(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 ﹣1)，n＝(c，b﹣2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b﹣2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b﹣2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B﹣2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，﹣＝﹣，所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2﹣2abcos ∠ACB，所以a2＋b2﹣ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.

6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.

(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈[0,]，向量m＝，n＝(1﹣cos θ，sin θ﹣2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知C(-,)，
所以＋＝(-＋t,)，
所以|＋|2＝﹣t＋t2＋＝t2﹣t＋1＝(t-)2＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1﹣cos2θ＋sin2θ﹣2sin θcos θ＝1﹣cos 2θ﹣sin 2θ＝1﹣sin(2θ＋)，
因为θ∈[0,]，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin(2θ＋)取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1﹣.