(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第2章 第3讲　基本不等式 (2份打包，原卷版+教师版)

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第3讲　基本不等式


一、知识梳理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
[点拨]　应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”.忽略某个条件，就会出错.
2.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[点拨]　在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(3)≥()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
二、教材衍化
1.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77 C.81 D.82
解析：选C.xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.
2.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________.
解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号.
答案：25 m2

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤()2成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；
(2)忽视定值存在；
(3)忽视等号成立的条件.
1.若x<0，则x＋(　　)
A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为﹣2 D.有最大值，且最大值为﹣2
解析：选D.因为x<0，所以﹣x>0，﹣x＋≥2＝2，
当且仅当x＝﹣1时，等号成立，所以x＋≤﹣2.
2.若x>1，则x＋的最小值为________.
解析：x＋＝x﹣1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x﹣1＝，即x＝3时等号成立.
答案：5
3.设0 解析：y＝2x(1﹣x)≤2＝.
当且仅当x＝1﹣x，即x＝时，等号成立.
答案：

考点一　利用基本不等式求最值(基础型)
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
核心素养：逻辑推理
角度一　通过配凑法求最值
(1)已知0 (2)已知x<，则f(x)＝4x﹣2＋的最大值为________.
【解析】　(1)x(4﹣3x)＝·(3x)(4﹣3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝时，取等号.
(2)因为x<，所以5﹣4x>0，
则f(x)＝4x﹣2＋＝﹣(5﹣4x＋)＋3≤﹣2＋3≤﹣2＋3＝1.
当且仅当5﹣4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x﹣2＋的最大值为1.
【答案】　(1)　(2)1

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
角度二　通过常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则(1+)(1+)的最小值为________.
【解析】(1+)(1+)＝(1+)(1+)＝(2＋)·(2+)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号.
【答案】　9
【迁移探究1】　(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________.
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，
当且仅当a＝b＝时等号成立.
答案：4
【迁移探究2】(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则(1+)(1+)的最小值为________.
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
(1+)(1+)＝＝＝＋＋＋≥＋2
＝＋.当且仅当4a＝b时取等号.
答案：＋

常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
角度三　通过消元法求最值
若正数x，y满足x2＋6xy﹣1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】　因为正数x，y满足x2＋6xy﹣1＝0，所以y＝.由即解得0 【答案】　A

通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的范围.

1.已知正实数a，b满足a＋b＝(ab)，则ab的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
解析：选C.(ab)＝a＋b≥2＝2(ab)，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，故ab的最小值为2，故选C.
2.已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D.3
解析：选D.由题意得x>0，y>0，＋＝＋﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立).
3.已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为________.
解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.
即＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·(＋)＝16＋1＋＋≥17＋2 ＝25，
当且仅当x＝4y＝20时等号成立，所以x＋y的最小值为25.
答案：25
考点二　利用基本不等式解决实际问题(应用型)
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值.
某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2﹣200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？


【解】　(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
＝x＋﹣200≥2 ﹣200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
(2)不获利.设该单位每月获利为S元，
则S＝100x﹣y＝100x﹣(x2-200x+80000)＝﹣x2＋300x﹣80 000＝﹣(x﹣300)2﹣35 000，
因为x∈[400，600]，所以S∈[﹣80 000，﹣40 000].
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.

应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(3)还原为实际问题，写出答案.
　某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低.
解：设泳池的长为x米，则宽为米，
总造价f(x)＝400×(2x+2×)＋100×＋60×200
＝800×(x+)＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，
当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立.
即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.

[基础题组练]
1.若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1.
2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A.[0，2] B.[﹣2，0] C.[﹣2，＋∞) D.(﹣∞，﹣2]
解析：选D.因为1＝2x＋2y≥2＝2，(当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝﹣1时等号成立)所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤﹣2.
3.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.
4.(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A.a＋b≥2 B.＋> C.＋≥2 D.a2＋b2≥2ab
解析：选CD.因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号.所以选项C正确，又a，b∈R，所以(a﹣b)2≥0，即a2＋b2≥2ab一定成立.
5.已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2
解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.
因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号，所以＋的最小值为4.故选C.
6.设P(x，y)是函数y＝(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________.
解析：因为x>0，所以y>0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立.所以x＋y的最小值为2.
答案：2
7.函数y＝(x>﹣1)的最小值为________.
解析：因为y＝＝x﹣1＋＝x＋1＋﹣2(x>﹣1)，
所以y≥2﹣2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立.
答案：0
8.若a>0，b>0，且a＋2b﹣4＝0，则ab的最大值为_______，＋的最小值为_______.
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b﹣4＝0，所以a＋2b＝4，
所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，
所以ab的最大值为2，因为＋＝(＋)·＝(5＋＋)≥＝，
当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2　.
9.(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0 解：(1)y＝(2x﹣3)＋＋＝﹣(＋)＋.
当x<时，有3﹣2x>0，所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝﹣时取等号.于是y≤﹣4＋＝﹣，
故函数的最大值为﹣.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10.已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
解：(1)由2x＋8y﹣xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y﹣xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(＋)·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[综合题组练]
1.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)
A.16 B.9 C.4 D.2
解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x﹣1)＋＋1≥2 ＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).由题意知2＋1≥5，所以a≥4.
2.已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
解析：选C.因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(＋)(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2(2＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.
3.已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2﹣2xy≥1﹣×2＝，所以x2＋y2的最小值为.
若a≤＋恒成立，则a小于等于(＋)的最小值，因为＋＝(＋)(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(﹣∞，9].
答案：　(﹣∞，9]
4.已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________.
解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，
因为3x＋2y＝(3x＋2y)·(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，
所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
答案：7＋4



5.已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求＋的最小值；
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由.
解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
所以＋的最小值为2.
(2)不存在.理由如下：
因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y).
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.
6.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3﹣(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3﹣k⇒k＝2，所以x＝3﹣(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×﹣8﹣16x﹣m＝﹣[＋(m＋1)]＋29(m≥0).
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤﹣8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).
故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.