中职数学高教版（2021）基础模块上册4.4 同角三角函数的基本关系教学设计

授课题目

4.4 同角三角函数的基本

关系

选用教材

高等教育出版社《数学》

（基础模块上册）

授课

时长

2 课时

授课

类型

新授课

教学提示

本课从熟悉的特殊角的三角函数值之间的关系出发，借助三角函数的定义利用单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，学

习利用同角三角函数的基本关系进行有关的化简和计算的常见方法．

教学目标

经历利用单位圆和三角函数定义推导同角三角函数的平方关系和商数关系的过程，逐步提升逻辑推理等核心素养；熟记同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值，体会“知一求二”，能应用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，并在此过程中可以总结出化简与证明的一般规律，逐步提升逻辑

推理和数学运算等核心素养．

教学重点

关系是推导过程；灵活运用同角三角函数的基本关系式解决求值、

推理等问题．

教学

难点

理解和识记两个公式；已知正切值求正弦值和余弦值．

教学

环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

sin  、cos  和tan  之间有什么关系？

6 6 6

提问启发引导

思考作答交流

用熟悉的问题引发学生思考降低学习起点

探索新知

利用单位圆，可以求得 sin   1 ，

6 2

  1 2      3 2

cos     3 ， tan     3 ， 且           1，

6 2 6 3  2    2 

讲解

说明

理解

思考

结合具体数值搭建思维台阶学生通过

观察思考

1

2    3 ．即

3 3

2



    sin sin2   cos2   1, tan  6 .

6 6 6 cos 

6

一般地，设点 P (x,y)是角 α 的终边与单位圆 O 的交点，则

|OP|=1，x=cosα， y=sinα.

因为 OP =r=   x2  y2 ，所以

x²+y²=1

即 sin²α+ cos²α =1

显然，当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立．

而当   +kk  Z 时，有

2

y sin 

tan  = = .

x cos

由此得到同角三角函数间的基本关系式：

sin2  cos2   1,

tan   sin .

cos

这说明，同一个角 α 的正弦、余弦的平和等于 1，商等于角 α 的正切．

推导

分析

展示

讲解

总结说明

补充说明

方

参与知识

形成感受

发现的乐

趣

分析

思考

数形结合

说明问题

帮助学生

观察

理解

提升直观

想象核心

素养

理解

提示思维

的严谨性

学习

记忆

深入

思考

温馨提示

sin 

关 系 式 tan  = 中 的

cos

   +kk  Z 是指终边在在 y 轴上的角的

2

正切值不存在.

例 1 已知sin  = 4 ,且角 α 是第二象限角,求

5

cosα 和 tanα．

解 因为 sin²α+cos²α=1，所以

 4 2   3

|cosα|=   1－sin2α = 1     =   ．

 5  5

又因为 α 是第二象限角，所以 cosα＜0，因此

cosα=  3 ，

5

从而

4

tan  = sin  =  5 4 ．

 

cos  3 3

5

例 2 已知 tanα=−  5,且 α 是第四象限角.求

sinα 和 cosα．

解 由题设及同角三角函数间的基本关系， 得方程组：

sin2  cos2  1 (1)

 sin 

cos     5 (2)

由(2)式得 sinα=−  5cosα，代入(1)，得

（−  5cosα）2 + cos2α =1，

1

即 6cos2α =1，所以 cos2α = 6，因此

提问

思考

例 1 和例

2  强调综

合运用同

引导

分析

角三角函

数基本关

系与算数

讲解

解决

根有关知

识解决问

题掌握常

强调

交流

用解决问

题方法和

例题

思路

辨析

例 3 利用

提问

思考

同角三角

函数进行

恒等变形

引导

分析

解决问题

例 4 学习

三角恒等

讲解

解决

式证明的

常用方法

锻炼学生

强调

交流

灵活运用

公式能力

|cosα| =  6 ．

6

因为 α 是第四象限角，cosα＞0．所以

cosα =  6 ，

6

sinα = −   5cosα =−   5×   6   30 ．

6 6

例 3  化简： sin   cos ．

tan  1

解 由于

tan  1  sin  1  sin   cos ,

cos cos

故

 sin   cos   sin   cos   = cos tan  1 sin   cos .

cos

例 4  求证： sin    = 1  cos ．

1+ cos sin 

证明 因为

   sin     1- cos sin2  1- cos2   sin2  sin2 

-       0 1 cos sin  1 cos sin                            (1 cos) sin

所以

   sinα 1−cosα 1+cosα=   sinα ．

例 5  已知 tanα=2，求 3sin  +4 cos ．

2sin  cos

解 法 一 由 tanα=2, 得 sin  =2  , 即

cos

sinα=2cosα, 所以

解法二

体会化归

思想方法

例 5 渗透

“数学的

提问

思考

逻辑美”

引导

分析

讲解

解决

强调

交流

提问

思考

引导

分析

讲解

解决

强调

交流

提问

思考

引导

分析

讲解

解决

强调

交流

探究与发现

sinα+cosα 与 sinαcosα 之间有什么关系？

提出问题

思考交流

练习 4.4

1．已知cos   2 且 α 是第三象限角，

2

求 sinα 和 tanα．

2．已知sin   3 且 α 是第二象限角，求

2

cosα 和 tanα．

3．已知tan  3 且 α 是第一象限角，求

4

sinα 和 cosα．

4．化简：

(1)cosαtanα； (2)  2 cos2  1 ；

1 2sin2 

(3)  1 sin2  ，其中 α 为第二象限角．

5．已知 tanα= −4，求下列各式的值： (1) sin   cos ； (2) 1

sin   cos cos2   sin2 

6．求证： 1+ sin  =  cos   ．

cos 1  sin 

7．化简： 1 2sin  cos ，其中 α 为第一象限角．

提问

思考

通过练习

及时掌握

学生的知

识掌握情

况，查漏

补缺

巩固

巡视

动手

练习

求解

指导

交流

归纳总结

引导提问

回忆反思

培养学生总结学习过程能力

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

说明

记录

继续探究

布置

2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习

延伸学习

作业

与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.