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重庆市渝中区求精中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
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这是一份重庆市渝中区求精中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市渝中区求精中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
2．（4分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
3．（4分）如图中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（ ）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之间 D．大于6cm
5．（4分）如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯，照此规律，摆成第7个图案需要的三角形个数是（ ）
A．19个 B．22个 C．25个 D．26个
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
8．（4分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（4分）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
10．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是 ．
12．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝ ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 ．
15．（4分）关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
16．（4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 ．
18．（4分）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B＝99，则N1最大为 ；若N2为“坎数”，且a＞b，当为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．
三、解答题：（本大题9个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
21．（10分）北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调楂结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如图统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查随机从该小区抽取了 名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
22．（10分）在学习正方形的过程中，小陈陈遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成以下尺规作图与填空：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝ ；
∴ +∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴ ；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ ）．
∴AE＝DF．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ ，c＝ ，b＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）点P在y轴上，当三角形ABP的面积为9时，请直接写出点P的坐标．
24．（10分）重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
25．（10分）如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
（3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，将△BAC绕着点B旋转．
（1）当△BAC旋转到图1位置，连接AD、CE交于点F，连接BF；
①探究线段AD与线段CE的关系；
②证明：BF平分∠AFE；
（2）当△BAC旋转到图2位置，连接AE、CD，过点B作BG⊥AE于点G，交CD于点H，证明：AE＝2BH．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是300，故B符合题意；
C、2000名学生的视力情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．（4分）如图中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同位角的定义作出选择．
【解答】解：观察图形，选项B中∠1与∠2不可能成为同位角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．（4分）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（ ）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之间 D．大于6cm
【分析】根据正方形的面积公式计算，利用算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵正方形的面积是34平方厘米，
∴边长＝cm，
∵5＜＜6，
∴其边长在5cm和6cm之间．
故选：C．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义是解答此题的关键．
5．（4分）如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯，照此规律，摆成第7个图案需要的三角形个数是（ ）
A．19个 B．22个 C．25个 D．26个
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
第7个图案有（3×7+1）＝22个三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的定义，平行公理和相交线对各小题分析判断利用排除法求解．
【解答】解：①∵同位角不一定是两平行直线被截得到，∴同位角相等错误，故本小题错误；
②垂线段最短，故本小题正确；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④三条直线两两相交，总有一个或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．
综上所述，说法正确的有②⑤共2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，涉及到平行公理，相交线与平行线，同位角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
7．（4分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数≥9（x﹣1），植树的总棵数＜8+9（x﹣1），把相关数值代入即可．
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为．
故选：D．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
8．（4分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用折叠的性质可得△BDE≌△B′DE，利用等量代换和等式的性质解答即可．
【解答】解：利用折叠的性质可得△BDE≌△B′DE，
∴BD＝BD′，BE＝B′E．
∴阴影部分图形的周长＝AD+B′D+AG+B′E+EC+EC+CG
＝（AD+B′D）+（AG+GC）+（B′E+EC）
＝（AD+BD）+（AG+GC）+（BE+EC）
＝AB+AC+BC，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴AB+AC+BC＝6，
∴阴影部分图形的周长等于6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得△BDE≌△B′DE是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．
【解答】解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF＝DH，可得AD平分∠MAC；故①正确；由面积公式可判断②，由“AAS”可证△ADE≌△PDF，可得AE＝PF，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BDF，可得BE＝BF，由线段的和差关系可得BP﹣2AE＝AB，故④正确，由角平分线的性质可求∠DAM＝59°；故③正确，即可求解．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，DH＝DF，
∴DE＝DH，
∴AD平分∠MAC；故①正确；
∵S△DAB：S△DBC＝＝，故②正确；
∵∠ABC+∠DEF+∠DFE+∠EDF＝360°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∵∠ADP+∠ABC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADP，
∴∠EDA＝∠PDF，
在△ADE和△PDF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∴BP﹣AB＝BF+PF﹣AB＝BE+AE﹣AB＝AE+AB+AE﹣AB＝2AE，
∴BP﹣2AE＝AB，故④正确，
∵AD平分∠MAC，DC平分∠ACN，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠MAC，∠DCA＝∠ACN，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABC﹣31°，
∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB＝59°，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是 8或﹣2 ．
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的定义分别求得x，y的值后代入x+y中计算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，y是9的算术平方根，
∴x＝±5，y＝3，
当x＝5，y＝3时，x+y＝5+3＝8，
当x＝﹣5，y＝3时，x+y＝﹣5+3＝﹣2，
综上，x+y的值是8或﹣2，
故答案为：8或﹣2．
【点评】本题考查绝对值的性质及算术平方根的定义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
12．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5．
则这个多边形是五边形．
故答案为：五．
【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）•180°．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝ 3a﹣b﹣c ．
【分析】三角形三边满足两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0，c+b﹣a＞0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|
＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣c﹣b+a
＝3a﹣b﹣c．
故答案为：3a﹣b﹣c．
【点评】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△OBD（AAS），得AC＝OD，OC＝BD，即可解决问题．
【解答】解：过如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝90°．
∴∠CAO＝∠DOB．
在△AOC与△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
∴AC＝OD，OC＝BD，
又∵顶点A的坐标是（1，2），
∴AC＝OD＝2，OC＝BD＝1，
∴B（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质以及等腰直角三角形等知识，解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形解决问题．
15．（4分）关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【分析】设m+2＝s，n﹣3＝t，则方程组的即为，根据关于x，y的方程组的解为，得到，由此求出m、n的值即可．
【解答】解：设m+2＝s，n﹣3＝t，
∴方程组的即为，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组为的解为得到，
∴，
∴，
∴关于m、n的方程组，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
16．（4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 5 ．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，可以求得a的取值范围，再求出关于y的方程2y﹣a﹣3＝0的解，然后根据关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，即可求出a的值，从而可以解答本题．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x＜7，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，
∴a＜7，
由方程2y﹣a﹣3＝0可得y＝，
∵关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝1或a＝3或a＝5，
∴符合条件的所有整数a的个数为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
18．（4分）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B＝99，则N1最大为 8172 ；若N2为“坎数”，且a＞b，当为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 8154 ．
【分析】根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），可得出a+b＝c+d，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知c＝d，则可知c＝5，d＝4，故a+b＝9，则最大的值为a＝8，b＝1，即可求解．
【解答】解：∵A+B＝99，N1为“坎数”，
∵千位数字为8，个数位上的数字1，百位数字为7，十位数字为2，
∴N1最大为8172，
根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），、∴a+b＝c+d，
∴ 为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，a＞b，
，
，
∴，
∴c＝5，d＝4，
∴a+b＝c+d＝9，
当a＝8，时，N有最大值，
∴b＝9﹣8＝1，
∴N的最大值为8154，
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．
三、解答题：（本大题9个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简方程组，再根据加减消元法可以解答此方程组；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
化简，得：，
②﹣①×2，得：5y＝10，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得：x＝3，
∴该方程组的解是；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣4，
解不等式②，得：x＞7，
∴该不等式组的解集是x＞7．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADE≌△FBD，可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠F＝30°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（10分）北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调楂结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如图统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查随机从该小区抽取了 200 名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为 72 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
【分析】（1）用“短道速滑”的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，先算出喜欢“冰球”的人数所占的百分比，再用360°乘百分比可得圆心角；
（2）用总人数分别减去其它项目的人数，即可得出最喜欢“花样滑冰”的人数，进而补全条形统计图；
（3）用总人数乘以最喜欢“花样滑冰”的学生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：80÷40%＝200，
扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为：360°×＝72°，
故答案为：200；72；
（2）最喜欢“花样滑冰”的人数为：200﹣40﹣80﹣20﹣10＝50（人），
补全条形统计图如下：
（3）3000×＝750（人），
答：估计该小区3000人中约有750人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（10分）在学习正方形的过程中，小陈陈遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成以下尺规作图与填空：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝ 90° ；
∴ ∠ADF +∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴ ∠ADF＝∠BAE ；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ ASA ）．
∴AE＝DF．
【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形全等的性质证明．
【解答】证明：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°．
∴∠ADF+∠DAE＝90°．
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE．
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AE＝DF，
故答案为：90°，∠ADF，∠ADF＝∠BAE，∠ABC＝∠DAB，ASA．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ 0 ，c＝ 4 ，b＝ 6 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）点P在y轴上，当三角形ABP的面积为9时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律即可得到结论；
（2）根据平移的性质即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，△A′B′C′是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到；
∴a＝2﹣2＝0，b＝1+3＝4，c＝4+2＝6；
故答案为：0，4，6；
（2）如图所示：
（3）设点P的坐标为（0，y），
∴△ABP的面积＝，
∴|y﹣4|＝6，
∴y＝10或y＝﹣2，
∴P点的坐标为（0，10）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．（10分）重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵20元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于33个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：≤m≤17．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球15个，B种足球35个；
方案二：购买A种足球16个，B种足球34个；
方案三：购买A种足球17个，B种足球33个．
设总费用为w，则w＝（60+5）m+80×0.9（50﹣m）＝﹣7m+3600，
∵﹣7＜0，
∴W随m的增大而减小，
故当m＝17时，总费用最少，
∴W＝﹣7×17+3600＝3481（元）．
答：购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
25．（10分）如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
（3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）∠AEM与∠CFN互补，则∠AEM+∠CFN＝180°，而∠AEM+∠AEN＝180°，可得∠CFN＝∠AEN，进而判定AB∥CD．
（2）由AB∥CD得∠BEO+∠DFO＝180°，由PE平分∠BEO，PF平分∠DFO得，∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝90°，由三角形内角和定理可得结果．
（3）过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，得到∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，又由
EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，得到∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O），从而得到结果．
【解答】（1）证明：∵∠AEM与∠CFN互补，
∴∠AEM+∠CFN＝180°，
又∵∠AEM+∠AEN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEN，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠BEO+∠DFO＝180°，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠PEO＝∠BEO，∠PFO＝∠DFO，
∴∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝×180°＝90°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠PEO+∠PFO）＝180°﹣90°＝90°．
（3）解：如图，过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，
∵AB∥CD，P′Q∥AB，
∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD，
∴∠EOH＝∠BEO，∠N′OH＝∠DF′O，
∠EP′Q＝∠BEP′，∠F′P′Q＝∠DF′P′，
∴∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，
∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，
∵EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，
∴∠BEP′＝∠BEO，∠DF′P′＝∠DF′O，
∴∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O）＝（180°﹣α）＝90°﹣．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，将△BAC绕着点B旋转．
（1）当△BAC旋转到图1位置，连接AD、CE交于点F，连接BF；
①探究线段AD与线段CE的关系；
②证明：BF平分∠AFE；
（2）当△BAC旋转到图2位置，连接AE、CD，过点B作BG⊥AE于点G，交CD于点H，证明：AE＝2BH．
【分析】（1）①证明△ABD≌△CBE （SAS），即可得证；
②证明△ABD≌△CBE （SAS），再根据全等三角形对应边上的高相等，推出BG＝BH，可得结论；
（2）在BG上截取BF，使BF＝AE，连接DF，用SAS证明△EBA≌△BDF，再证明△CBH≌△DFH，可得结论．
【解答】（1）①解：AD⊥CE，AD＝CE，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE （SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴AD⊥CE；
②证明：如图，过点B作BG⊥AD于点G，BH⊥EC于点H，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
又∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴BG＝BH（全等三角形对应边上的高相等），
∴BF平分∠AFE，
（2）证明：在BG上截取BF，使BF＝AE，连接DF
∵BG⊥AE，
∴∠BEG+∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝∠DBG+∠EBG＝90°，
∴∠DBG＝∠BEG，
又∵BD＝BE，
∴△EBA≌△BDF（SAS），
∴BA＝DF，∠EBA＝∠BDF，
∵BA＝BC，
∴DF＝BC，
∵∠DBE+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ABE＝180°，
∴∠DBC+∠BDF＝180，
∴BC∥DF，
∴∠BCH＝∠FDH，∠HBC＝∠HFD，
∵DF＝BC，
∴△CBH≌△DFH（ASA），
∴HB＝HF，
∴AE＝2BH．
【点评】本题属于旋转变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
重庆市渝中区求精中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
2．（4分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
3．（4分）如图中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（ ）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之间 D．大于6cm
5．（4分）如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯，照此规律，摆成第7个图案需要的三角形个数是（ ）
A．19个 B．22个 C．25个 D．26个
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
8．（4分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（4分）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
10．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是 ．
12．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝ ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 ．
15．（4分）关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
16．（4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 ．
18．（4分）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B＝99，则N1最大为 ；若N2为“坎数”，且a＞b，当为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．
三、解答题：（本大题9个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
21．（10分）北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调楂结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如图统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查随机从该小区抽取了 名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
22．（10分）在学习正方形的过程中，小陈陈遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成以下尺规作图与填空：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝ ；
∴ +∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴ ；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ ）．
∴AE＝DF．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ ，c＝ ，b＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）点P在y轴上，当三角形ABP的面积为9时，请直接写出点P的坐标．
24．（10分）重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
25．（10分）如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
（3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，将△BAC绕着点B旋转．
（1）当△BAC旋转到图1位置，连接AD、CE交于点F，连接BF；
①探究线段AD与线段CE的关系；
②证明：BF平分∠AFE；
（2）当△BAC旋转到图2位置，连接AE、CD，过点B作BG⊥AE于点G，交CD于点H，证明：AE＝2BH．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．阿基米德螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．太极图
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查
B．样本容量是300
C．2000名学生是总体
D．被抽取的每一名学生称为个体
【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是300，故B符合题意；
C、2000名学生的视力情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．（4分）如图中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同位角的定义作出选择．
【解答】解：观察图形，选项B中∠1与∠2不可能成为同位角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．（4分）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（ ）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之间 D．大于6cm
【分析】根据正方形的面积公式计算，利用算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵正方形的面积是34平方厘米，
∴边长＝cm，
∵5＜＜6，
∴其边长在5cm和6cm之间．
故选：C．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义是解答此题的关键．
5．（4分）如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯，照此规律，摆成第7个图案需要的三角形个数是（ ）
A．19个 B．22个 C．25个 D．26个
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
第7个图案有（3×7+1）＝22个三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
6．（4分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的定义，平行公理和相交线对各小题分析判断利用排除法求解．
【解答】解：①∵同位角不一定是两平行直线被截得到，∴同位角相等错误，故本小题错误；
②垂线段最短，故本小题正确；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④三条直线两两相交，总有一个或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．
综上所述，说法正确的有②⑤共2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，涉及到平行公理，相交线与平行线，同位角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
7．（4分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数≥9（x﹣1），植树的总棵数＜8+9（x﹣1），把相关数值代入即可．
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为．
故选：D．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
8．（4分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用折叠的性质可得△BDE≌△B′DE，利用等量代换和等式的性质解答即可．
【解答】解：利用折叠的性质可得△BDE≌△B′DE，
∴BD＝BD′，BE＝B′E．
∴阴影部分图形的周长＝AD+B′D+AG+B′E+EC+EC+CG
＝（AD+B′D）+（AG+GC）+（B′E+EC）
＝（AD+BD）+（AG+GC）+（BE+EC）
＝AB+AC+BC，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴AB+AC+BC＝6，
∴阴影部分图形的周长等于6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得△BDE≌△B′DE是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．
【解答】解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，则下列结论中正确的个数（ ）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，则∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF＝DH，可得AD平分∠MAC；故①正确；由面积公式可判断②，由“AAS”可证△ADE≌△PDF，可得AE＝PF，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BDF，可得BE＝BF，由线段的和差关系可得BP﹣2AE＝AB，故④正确，由角平分线的性质可求∠DAM＝59°；故③正确，即可求解．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，DH＝DF，
∴DE＝DH，
∴AD平分∠MAC；故①正确；
∵S△DAB：S△DBC＝＝，故②正确；
∵∠ABC+∠DEF+∠DFE+∠EDF＝360°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∵∠ADP+∠ABC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADP，
∴∠EDA＝∠PDF，
在△ADE和△PDF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∴BP﹣AB＝BF+PF﹣AB＝BE+AE﹣AB＝AE+AB+AE﹣AB＝2AE，
∴BP﹣2AE＝AB，故④正确，
∵AD平分∠MAC，DC平分∠ACN，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠MAC，∠DCA＝∠ACN，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABC﹣31°，
∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB＝59°，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是 8或﹣2 ．
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的定义分别求得x，y的值后代入x+y中计算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，y是9的算术平方根，
∴x＝±5，y＝3，
当x＝5，y＝3时，x+y＝5+3＝8，
当x＝﹣5，y＝3时，x+y＝﹣5+3＝﹣2，
综上，x+y的值是8或﹣2，
故答案为：8或﹣2．
【点评】本题考查绝对值的性质及算术平方根的定义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
12．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5．
则这个多边形是五边形．
故答案为：五．
【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）•180°．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝ 3a﹣b﹣c ．
【分析】三角形三边满足两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0，c+b﹣a＞0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|
＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣c﹣b+a
＝3a﹣b﹣c．
故答案为：3a﹣b﹣c．
【点评】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，顶点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△OBD（AAS），得AC＝OD，OC＝BD，即可解决问题．
【解答】解：过如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝90°．
∴∠CAO＝∠DOB．
在△AOC与△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
∴AC＝OD，OC＝BD，
又∵顶点A的坐标是（1，2），
∴AC＝OD＝2，OC＝BD＝1，
∴B（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质以及等腰直角三角形等知识，解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形解决问题．
15．（4分）关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【分析】设m+2＝s，n﹣3＝t，则方程组的即为，根据关于x，y的方程组的解为，得到，由此求出m、n的值即可．
【解答】解：设m+2＝s，n﹣3＝t，
∴方程组的即为，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组为的解为得到，
∴，
∴，
∴关于m、n的方程组，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
16．（4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 5 ．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，可以求得a的取值范围，再求出关于y的方程2y﹣a﹣3＝0的解，然后根据关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，即可求出a的值，从而可以解答本题．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x＜7，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，
∴a＜7，
由方程2y﹣a﹣3＝0可得y＝，
∵关于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非负整数解，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝1或a＝3或a＝5，
∴符合条件的所有整数a的个数为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
18．（4分）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B＝99，则N1最大为 8172 ；若N2为“坎数”，且a＞b，当为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 8154 ．
【分析】根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），可得出a+b＝c+d，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知c＝d，则可知c＝5，d＝4，故a+b＝9，则最大的值为a＝8，b＝1，即可求解．
【解答】解：∵A+B＝99，N1为“坎数”，
∵千位数字为8，个数位上的数字1，百位数字为7，十位数字为2，
∴N1最大为8172，
根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），、∴a+b＝c+d，
∴ 为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，a＞b，
，
，
∴，
∴c＝5，d＝4，
∴a+b＝c+d＝9，
当a＝8，时，N有最大值，
∴b＝9﹣8＝1，
∴N的最大值为8154，
【点评】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．
三、解答题：（本大题9个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简方程组，再根据加减消元法可以解答此方程组；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
化简，得：，
②﹣①×2，得：5y＝10，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得：x＝3，
∴该方程组的解是；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣4，
解不等式②，得：x＞7，
∴该不等式组的解集是x＞7．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADE≌△FBD，可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠F＝30°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（10分）北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调楂结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如图统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查随机从该小区抽取了 200 名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形圆心角为 72 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
【分析】（1）用“短道速滑”的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，先算出喜欢“冰球”的人数所占的百分比，再用360°乘百分比可得圆心角；
（2）用总人数分别减去其它项目的人数，即可得出最喜欢“花样滑冰”的人数，进而补全条形统计图；
（3）用总人数乘以最喜欢“花样滑冰”的学生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：80÷40%＝200，
扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为：360°×＝72°，
故答案为：200；72；
（2）最喜欢“花样滑冰”的人数为：200﹣40﹣80﹣20﹣10＝50（人），
补全条形统计图如下：
（3）3000×＝750（人），
答：估计该小区3000人中约有750人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（10分）在学习正方形的过程中，小陈陈遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成以下尺规作图与填空：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝ 90° ；
∴ ∠ADF +∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴ ∠ADF＝∠BAE ；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ ASA ）．
∴AE＝DF．
【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形全等的性质证明．
【解答】证明：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°．
∴∠ADF+∠DAE＝90°．
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE．
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AE＝DF，
故答案为：90°，∠ADF，∠ADF＝∠BAE，∠ABC＝∠DAB，ASA．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ 0 ，c＝ 4 ，b＝ 6 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）点P在y轴上，当三角形ABP的面积为9时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律即可得到结论；
（2）根据平移的性质即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，△A′B′C′是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到；
∴a＝2﹣2＝0，b＝1+3＝4，c＝4+2＝6；
故答案为：0，4，6；
（2）如图所示：
（3）设点P的坐标为（0，y），
∴△ABP的面积＝，
∴|y﹣4|＝6，
∴y＝10或y＝﹣2，
∴P点的坐标为（0，10）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．（10分）重庆市求精中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，请在所有可行方案中，给出花费最少的方案，并计算最少方案的费用？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵20元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于33个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：≤m≤17．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球15个，B种足球35个；
方案二：购买A种足球16个，B种足球34个；
方案三：购买A种足球17个，B种足球33个．
设总费用为w，则w＝（60+5）m+80×0.9（50﹣m）＝﹣7m+3600，
∵﹣7＜0，
∴W随m的增大而减小，
故当m＝17时，总费用最少，
∴W＝﹣7×17+3600＝3481（元）．
答：购买A种足球17个，B种足球33个费用最少．最少费用为3481元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键．
25．（10分）如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
（3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）∠AEM与∠CFN互补，则∠AEM+∠CFN＝180°，而∠AEM+∠AEN＝180°，可得∠CFN＝∠AEN，进而判定AB∥CD．
（2）由AB∥CD得∠BEO+∠DFO＝180°，由PE平分∠BEO，PF平分∠DFO得，∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝90°，由三角形内角和定理可得结果．
（3）过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，得到∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，又由
EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，得到∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O），从而得到结果．
【解答】（1）证明：∵∠AEM与∠CFN互补，
∴∠AEM+∠CFN＝180°，
又∵∠AEM+∠AEN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEN，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠BEO+∠DFO＝180°，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠PEO＝∠BEO，∠PFO＝∠DFO，
∴∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝×180°＝90°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠PEO+∠PFO）＝180°﹣90°＝90°．
（3）解：如图，过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，
∵AB∥CD，P′Q∥AB，
∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD，
∴∠EOH＝∠BEO，∠N′OH＝∠DF′O，
∠EP′Q＝∠BEP′，∠F′P′Q＝∠DF′P′，
∴∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，
∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，
∵EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，
∴∠BEP′＝∠BEO，∠DF′P′＝∠DF′O，
∴∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O）＝（180°﹣α）＝90°﹣．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，将△BAC绕着点B旋转．
（1）当△BAC旋转到图1位置，连接AD、CE交于点F，连接BF；
①探究线段AD与线段CE的关系；
②证明：BF平分∠AFE；
（2）当△BAC旋转到图2位置，连接AE、CD，过点B作BG⊥AE于点G，交CD于点H，证明：AE＝2BH．
【分析】（1）①证明△ABD≌△CBE （SAS），即可得证；
②证明△ABD≌△CBE （SAS），再根据全等三角形对应边上的高相等，推出BG＝BH，可得结论；
（2）在BG上截取BF，使BF＝AE，连接DF，用SAS证明△EBA≌△BDF，再证明△CBH≌△DFH，可得结论．
【解答】（1）①解：AD⊥CE，AD＝CE，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE （SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴AD⊥CE；
②证明：如图，过点B作BG⊥AD于点G，BH⊥EC于点H，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
又∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴BG＝BH（全等三角形对应边上的高相等），
∴BF平分∠AFE，
（2）证明：在BG上截取BF，使BF＝AE，连接DF
∵BG⊥AE，
∴∠BEG+∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝∠DBG+∠EBG＝90°，
∴∠DBG＝∠BEG，
又∵BD＝BE，
∴△EBA≌△BDF（SAS），
∴BA＝DF，∠EBA＝∠BDF，
∵BA＝BC，
∴DF＝BC，
∵∠DBE+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ABE＝180°，
∴∠DBC+∠BDF＝180，
∴BC∥DF，
∴∠BCH＝∠FDH，∠HBC＝∠HFD，
∵DF＝BC，
∴△CBH≌△DFH（ASA），
∴HB＝HF，
∴AE＝2BH．
【点评】本题属于旋转变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
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