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重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（一）
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这是一份重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（一），共26页。试卷主要包含了下列四个实数中，是无理数的是，下列计算正确的是，以下列长度，若m＜n，则下列结论错误的是等内容，欢迎下载使用。
重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.1415 C． D．﹣π
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3 B．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
4．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A．2，3，6，9 B．1，2，3，4 C． D．
5．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣27 B．﹣29 C．﹣42 D．﹣45
6．若m＜n，则下列结论错误的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．2m＜2n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
7．已知△ABC的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
9．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：
捐款（元）
3
5
8
10
人数
2
■
■
31
表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
二．填空题（共8小题）
11．多项式﹣2a3﹣4a2﹣2a因式分解的结果是 ．
12．已知一个n边形的每一个外角都是40°，则边数n为 ．
13．若点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝ ．
14．计算﹣＝ ．
15．当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为 ．
16．如图，平面直角坐标系中的两个点A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，则∠AED的度数为 ．
17．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF，∠A＝60°，∠DEF＝40°，则∠F＝ ．
18．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝ .若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．
23．华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 ，截止到第十六届共有 人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 （填“小”或“大”），理由是 ．
24．如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为AC上一点，连AD、BE交于点F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若BD＝5，CD＝2，AE＝，则EF等于多少？
25．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
26．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．
（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的值 ；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级上学期开学数学试卷练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.1415 C． D．﹣π
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、＝2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、﹣π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3 B．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式以及整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝﹣8a3，故A不符合题意．
B、原式＝﹣a2•a3＝﹣a5，故B不符合题意．
C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．
D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．
故选：D．
3．已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
4．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A．2，3，6，9 B．1，2，3，4 C． D．
【答案】B
【分析】根据比例线段的定义，计算每组中的最小数与最大数的积与另外两个数的积，若它们的积相等，则四条线段成比例，否则不成比例．
【解答】解：A、由于2×9＝3×6，所以2，3，6，9成比例；
B、由于1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例；
C、由于×4＝1×2，所以2，1，，4成比例；
D、由于×2＝×，所以，，2，2成比例．
故选：B．
5．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣27 B．﹣29 C．﹣42 D．﹣45
【答案】C
【分析】表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有三个偶数解，得到a的值相加即可．
【解答】解：，
去分母，得3（ax+1）＝﹣38x﹣6，
去括号，得3ax+3＝﹣38x﹣6，
解得x＝﹣，
∵数a使关于x的方程有非负数解，
∴3a+38＜0，
∴a＜﹣，
不等式组整理得：，
解得，
由不等式组有解且恰好有三个偶数解，得到偶数解为2，0，﹣2，
∴﹣4≤＜﹣2，
解得﹣15≤a＜﹣7，
∴﹣15≤a＜﹣，
则满足题意a的值有﹣15，﹣14，﹣13，
则符合条件的所有整数a的和是﹣15+（﹣14）+（﹣13）＝﹣42．
故选：C．
6．若m＜n，则下列结论错误的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．2m＜2n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、不等式m＜n两边都减去2，得m﹣2＜n﹣2，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、不等式m＜n两边都乘以2，得2m＜2n，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、不等式m＜n两边都除以﹣2，得﹣＞﹣，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式m＜n两边都平方，若m＝2，n＝3，则m2＜n2，若m＝﹣6，n＝3，则m2＞n2，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
7．已知△ABC的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝16﹣4＝12，
故选：A．
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
【答案】A
【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
①当a＝2是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形，
周长为：2+2+3＝7．
②当b＝3是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形，
周长为：3+3+2＝8．
所以等腰三角形的周长7或8．
故选：A．
9．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：
捐款（元）
3
5
8
10
人数
2
■
■
31
表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，利用八（1）班45名同学得出关于x，y的等式，再利用共捐款400元，得出等式组成方程组．
【解答】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：
，即．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．多项式﹣2a3﹣4a2﹣2a因式分解的结果是 ﹣2a（a+1）2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式﹣2a，然后利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：﹣2a3﹣4a2﹣2a＝﹣2a（a2+2a+1）＝﹣2a（a+1）2．
故答案为：﹣2a（a+1）2．
12．已知一个n边形的每一个外角都是40°，则边数n为 9 ．
【答案】9．
【分析】根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
n＝＝9．
故答案为：9．
13．若点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝ ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
则ab＝（﹣3）（﹣1）＝﹣．
故答案为：﹣．
14．计算﹣＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此解答即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴＝﹣4，
∴﹣＝4．
故答案为：4．
15．当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为 48°或24°或44° ．
【答案】48°或24°或44°．
【分析】设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．由题意得α＝48°或∠1＝48°或∠2＝48°，故需分这3种情况讨论．
【解答】解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
综上：“幸运角”α可能为48°或24°或44°．
故答案为：48°或24°或44°．
16．如图，平面直角坐标系中的两个点A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，则∠AED的度数为 45° ．
【答案】45°．
【分析】连接AD，根据角平分线的定义得到AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，得到∠EAO+∠EDO＝45°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵BD∥AC，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠ABD+∠ODB＝90°，
∴∠BAC+∠ODB＝90°，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠EAO＝∠BAC，∠EDO＝∠ODB，
∴∠EAO+∠EDO＝（∠BAC+∠ODB）＝×90°＝45°，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA＝180°，即∠AED+∠EAO+∠OAD+∠EDO+∠ODA＝180°，
∵∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠AED+45°+90°＝180°，
∴∠AED＝45°．
故答案为：45°．
17．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF，∠A＝60°，∠DEF＝40°，则∠F＝ 80° ．
【答案】80°．
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF（SSS），再利用全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝60°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
故答案为：80°．
18．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝ 682 .若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 4648 ．
【答案】（1）682；
（2）4648．
【分析】先根据“异友数”的定义求出P（6157）＝682；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“异友数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可．
【解答】解：∵6157去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：615、617、157、657，这四个三位数之和为615+617+157+657＝2046，2046÷3＝682，
∴P（6157）＝682；
设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴x≠2y，x+2≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+2y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+2y、100x+10（x+2）+y，
这四个三位数之和为100（x+2）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+2）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷3＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+6）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+9y+2能被13整除，
当y＝1时，10x+9y+2＝10x+11，x≠2，存在x＝8使10x+9y+2能被13整除，但1≤x≤7，故不符合题意；
当y＝2时，10x+9y+2＝10x+20＝13+10x+7，x≠4，在1≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+2能被13整除；
当y＝3时，10x+9y+2＝10x+29＝26+10x+3，存在x＝1使10x+9y+2能被13整除，此时n＝1336；（不符合题意，舍去）
当y＝4时，10x+9y+2＝10x+38＝26+10x+12，存在x＝4使10x+9y+2能被13整除，此时n＝4648；
综上所述，n＝4648；
故答案为：682；4648．
三．解答题（共8小题）
19．已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）图见解答；
（2）；
（3）（5，0）或（﹣3，0）．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出A，B，C的位置；
（2）以AB为底边，求出AB的值，C到AB的距离为高，根据图象得出高为5，用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（3）根据三角形ABP的面积求出P到AB的距离，再由P在x轴上确定点P的位置．
【解答】解：（1）描点如图：
（2）由题意得AB||y轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，
由图得C到AB的距离为5，
∴；
（3）存在，
∵AB＝5，S△ABP＝10，
∴P点到AB的距离为4，
又∵点P在x轴上，P点的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．
20．（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
【答案】（1）﹣1；（2）3x3﹣5x2+6x．
【分析】（1）先分别按照立方根、平方根的求法和绝对值的化简法则计算，再合并同类项即可；
（2）先按照单项式乘以多项式运算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣|﹣3|
＝﹣5+7+﹣3
＝﹣1；
（2）x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）
＝x3﹣x2+2x3﹣4x2+6x
＝3x3﹣5x2+6x．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）2.5．
【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2得到△A2B2C2，然后利用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△A2B2C2的面积＝3×2﹣×3×1﹣×2×1﹣×2×1＝2.5．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAD的平分线即可；
（2）利用∠AFD+∠DAF＝90°，∠CEF+∠CAF＝90°，而∠DAF＝∠CAF，则∠CEF＝∠DFA，然后根据对顶角相等可得到∠CFE＝∠CEF．
【解答】（1）解：如图，CE为所作；
（2）证明：CD是底边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AFD+∠DAF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEF+∠CAF＝90°，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
23．华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 3 ，截止到第十六届共有 30 人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 小 （填“小”或“大”），理由是 因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小 ．
【答案】（1）3，30；
（2）见解析；
（3）小，理由见解析．
【分析】（1）“75≤x＜80“之外的频数除以90%可得总人数，用总人数乘以10%即可求出m的值；
（2）根据m的值，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）根据70及70以上的百分比即可得答案．
【解答】解：（1）截止到第十六届，获得“华罗庚数学奖”的人数为（3+1+11+7+3+2）÷（1﹣10%）＝30，
∴m＝30×10%＝3；
故答案为：3，30；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：
（3）他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由：
因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小，因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
24．如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为AC上一点，连AD、BE交于点F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若BD＝5，CD＝2，AE＝，则EF等于多少？
【答案】．
【分析】（1）根据AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，可得BD＝AD，所以△ABD是等腰直角三角形，可得Rt△BDF≌Rt△ADC；
（2）结合（1）根据BD＝5，CD＝2，AE＝，利用勾股定理即可得EF的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS）；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴DF＝CD＝2，∠DBF＝∠DAC，
∴∠DBF+∠BFD＝∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵BD＝AD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3，
在Rt△AEF中，AF＝3，AE＝，根据勾股定理，得
EF＝＝．
25．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
【答案】（1）A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【分析】（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，
依题意得：，
解得：20≤m≤30，
答：购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
26．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．
（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的值 2+ ；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．
【答案】（1）；2+；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出DE、BC；
（2）证明△CAD≌△BAE，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；
（3）证明CE＝CB，得到点C在线段BE的垂直平分线上，证明BD＝DE，得到点D在线段BE的垂直平分线上，证明结论．
【解答】（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝AE＝1，
∴DE＝＝＝，
同理，BC＝＝2+，
故答案为：；2+；
（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
（3）证明：∵C，A，E三点共线，
∴CE＝CA+AE＝+2，
∴CE＝CB，
∴点C在线段BE的垂直平分线上，
∵BD＝AB﹣AD＝，DE＝，
∴BD＝DE，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分BE．
重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.1415 C． D．﹣π
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3 B．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
4．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A．2，3，6，9 B．1，2，3，4 C． D．
5．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣27 B．﹣29 C．﹣42 D．﹣45
6．若m＜n，则下列结论错误的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．2m＜2n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
7．已知△ABC的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
9．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：
捐款（元）
3
5
8
10
人数
2
■
■
31
表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
二．填空题（共8小题）
11．多项式﹣2a3﹣4a2﹣2a因式分解的结果是 ．
12．已知一个n边形的每一个外角都是40°，则边数n为 ．
13．若点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝ ．
14．计算﹣＝ ．
15．当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为 ．
16．如图，平面直角坐标系中的两个点A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，则∠AED的度数为 ．
17．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF，∠A＝60°，∠DEF＝40°，则∠F＝ ．
18．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝ .若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．
23．华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 ，截止到第十六届共有 人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 （填“小”或“大”），理由是 ．
24．如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为AC上一点，连AD、BE交于点F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若BD＝5，CD＝2，AE＝，则EF等于多少？
25．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
26．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．
（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的值 ；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级上学期开学数学试卷练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.1415 C． D．﹣π
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、＝2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、﹣π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）3＝﹣2a3 B．（﹣a）2•（﹣a）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式以及整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝﹣8a3，故A不符合题意．
B、原式＝﹣a2•a3＝﹣a5，故B不符合题意．
C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．
D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．
故选：D．
3．已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
4．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A．2，3，6，9 B．1，2，3，4 C． D．
【答案】B
【分析】根据比例线段的定义，计算每组中的最小数与最大数的积与另外两个数的积，若它们的积相等，则四条线段成比例，否则不成比例．
【解答】解：A、由于2×9＝3×6，所以2，3，6，9成比例；
B、由于1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例；
C、由于×4＝1×2，所以2，1，，4成比例；
D、由于×2＝×，所以，，2，2成比例．
故选：B．
5．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣27 B．﹣29 C．﹣42 D．﹣45
【答案】C
【分析】表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有三个偶数解，得到a的值相加即可．
【解答】解：，
去分母，得3（ax+1）＝﹣38x﹣6，
去括号，得3ax+3＝﹣38x﹣6，
解得x＝﹣，
∵数a使关于x的方程有非负数解，
∴3a+38＜0，
∴a＜﹣，
不等式组整理得：，
解得，
由不等式组有解且恰好有三个偶数解，得到偶数解为2，0，﹣2，
∴﹣4≤＜﹣2，
解得﹣15≤a＜﹣7，
∴﹣15≤a＜﹣，
则满足题意a的值有﹣15，﹣14，﹣13，
则符合条件的所有整数a的和是﹣15+（﹣14）+（﹣13）＝﹣42．
故选：C．
6．若m＜n，则下列结论错误的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．2m＜2n C．﹣＞﹣ D．m2＜n2
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、不等式m＜n两边都减去2，得m﹣2＜n﹣2，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、不等式m＜n两边都乘以2，得2m＜2n，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、不等式m＜n两边都除以﹣2，得﹣＞﹣，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式m＜n两边都平方，若m＝2，n＝3，则m2＜n2，若m＝﹣6，n＝3，则m2＞n2，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
7．已知△ABC的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝16﹣4＝12，
故选：A．
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
【答案】A
【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
①当a＝2是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形，
周长为：2+2+3＝7．
②当b＝3是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形，
周长为：3+3+2＝8．
所以等腰三角形的周长7或8．
故选：A．
9．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：
捐款（元）
3
5
8
10
人数
2
■
■
31
表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，利用八（1）班45名同学得出关于x，y的等式，再利用共捐款400元，得出等式组成方程组．
【解答】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：
，即．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．多项式﹣2a3﹣4a2﹣2a因式分解的结果是 ﹣2a（a+1）2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式﹣2a，然后利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：﹣2a3﹣4a2﹣2a＝﹣2a（a2+2a+1）＝﹣2a（a+1）2．
故答案为：﹣2a（a+1）2．
12．已知一个n边形的每一个外角都是40°，则边数n为 9 ．
【答案】9．
【分析】根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
n＝＝9．
故答案为：9．
13．若点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝ ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
则ab＝（﹣3）（﹣1）＝﹣．
故答案为：﹣．
14．计算﹣＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此解答即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴＝﹣4，
∴﹣＝4．
故答案为：4．
15．当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为 48°或24°或44° ．
【答案】48°或24°或44°．
【分析】设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．由题意得α＝48°或∠1＝48°或∠2＝48°，故需分这3种情况讨论．
【解答】解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
综上：“幸运角”α可能为48°或24°或44°．
故答案为：48°或24°或44°．
16．如图，平面直角坐标系中的两个点A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，则∠AED的度数为 45° ．
【答案】45°．
【分析】连接AD，根据角平分线的定义得到AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，得到∠EAO+∠EDO＝45°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵BD∥AC，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠ABD+∠ODB＝90°，
∴∠BAC+∠ODB＝90°，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠EAO＝∠BAC，∠EDO＝∠ODB，
∴∠EAO+∠EDO＝（∠BAC+∠ODB）＝×90°＝45°，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA＝180°，即∠AED+∠EAO+∠OAD+∠EDO+∠ODA＝180°，
∵∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠AED+45°+90°＝180°，
∴∠AED＝45°．
故答案为：45°．
17．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF，∠A＝60°，∠DEF＝40°，则∠F＝ 80° ．
【答案】80°．
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF（SSS），再利用全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝60°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
故答案为：80°．
18．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝ 682 .若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 4648 ．
【答案】（1）682；
（2）4648．
【分析】先根据“异友数”的定义求出P（6157）＝682；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“异友数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可．
【解答】解：∵6157去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：615、617、157、657，这四个三位数之和为615+617+157+657＝2046，2046÷3＝682，
∴P（6157）＝682；
设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴x≠2y，x+2≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+2y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+2y、100x+10（x+2）+y，
这四个三位数之和为100（x+2）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+2）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷3＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+6）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+9y+2能被13整除，
当y＝1时，10x+9y+2＝10x+11，x≠2，存在x＝8使10x+9y+2能被13整除，但1≤x≤7，故不符合题意；
当y＝2时，10x+9y+2＝10x+20＝13+10x+7，x≠4，在1≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+2能被13整除；
当y＝3时，10x+9y+2＝10x+29＝26+10x+3，存在x＝1使10x+9y+2能被13整除，此时n＝1336；（不符合题意，舍去）
当y＝4时，10x+9y+2＝10x+38＝26+10x+12，存在x＝4使10x+9y+2能被13整除，此时n＝4648；
综上所述，n＝4648；
故答案为：682；4648．
三．解答题（共8小题）
19．已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）图见解答；
（2）；
（3）（5，0）或（﹣3，0）．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出A，B，C的位置；
（2）以AB为底边，求出AB的值，C到AB的距离为高，根据图象得出高为5，用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（3）根据三角形ABP的面积求出P到AB的距离，再由P在x轴上确定点P的位置．
【解答】解：（1）描点如图：
（2）由题意得AB||y轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，
由图得C到AB的距离为5，
∴；
（3）存在，
∵AB＝5，S△ABP＝10，
∴P点到AB的距离为4，
又∵点P在x轴上，P点的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．
20．（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
【答案】（1）﹣1；（2）3x3﹣5x2+6x．
【分析】（1）先分别按照立方根、平方根的求法和绝对值的化简法则计算，再合并同类项即可；
（2）先按照单项式乘以多项式运算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣|﹣3|
＝﹣5+7+﹣3
＝﹣1；
（2）x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）
＝x3﹣x2+2x3﹣4x2+6x
＝3x3﹣5x2+6x．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）2.5．
【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2得到△A2B2C2，然后利用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△A2B2C2的面积＝3×2﹣×3×1﹣×2×1﹣×2×1＝2.5．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAD的平分线即可；
（2）利用∠AFD+∠DAF＝90°，∠CEF+∠CAF＝90°，而∠DAF＝∠CAF，则∠CEF＝∠DFA，然后根据对顶角相等可得到∠CFE＝∠CEF．
【解答】（1）解：如图，CE为所作；
（2）证明：CD是底边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AFD+∠DAF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEF+∠CAF＝90°，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
23．华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 3 ，截止到第十六届共有 30 人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 小 （填“小”或“大”），理由是 因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小 ．
【答案】（1）3，30；
（2）见解析；
（3）小，理由见解析．
【分析】（1）“75≤x＜80“之外的频数除以90%可得总人数，用总人数乘以10%即可求出m的值；
（2）根据m的值，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）根据70及70以上的百分比即可得答案．
【解答】解：（1）截止到第十六届，获得“华罗庚数学奖”的人数为（3+1+11+7+3+2）÷（1﹣10%）＝30，
∴m＝30×10%＝3；
故答案为：3，30；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：
（3）他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由：
因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小，因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
24．如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为AC上一点，连AD、BE交于点F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若BD＝5，CD＝2，AE＝，则EF等于多少？
【答案】．
【分析】（1）根据AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，可得BD＝AD，所以△ABD是等腰直角三角形，可得Rt△BDF≌Rt△ADC；
（2）结合（1）根据BD＝5，CD＝2，AE＝，利用勾股定理即可得EF的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS）；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴DF＝CD＝2，∠DBF＝∠DAC，
∴∠DBF+∠BFD＝∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵BD＝AD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3，
在Rt△AEF中，AF＝3，AE＝，根据勾股定理，得
EF＝＝．
25．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍，那么购进A种农产品件数的范围是多少？
【答案】（1）A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
【分析】（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）设A种农产品每件的价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40﹣m）件，
依题意得：，
解得：20≤m≤30，
答：购进A种农产品件数的范围是20≤m≤30．
26．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．
（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值 ，BC的值 2+ ；
（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；
（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．
【答案】（1）；2+；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出DE、BC；
（2）证明△CAD≌△BAE，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；
（3）证明CE＝CB，得到点C在线段BE的垂直平分线上，证明BD＝DE，得到点D在线段BE的垂直平分线上，证明结论．
【解答】（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝AE＝1，
∴DE＝＝＝，
同理，BC＝＝2+，
故答案为：；2+；
（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
（3）证明：∵C，A，E三点共线，
∴CE＝CA+AE＝+2，
∴CE＝CB，
∴点C在线段BE的垂直平分线上，
∵BD＝AB﹣AD＝，DE＝，
∴BD＝DE，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分BE．
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