2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学人民路校区九年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学人民路校区九年级（上）月考数学试卷（1月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，关于的一元二次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  与的相似比为：，则与的周长比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

3.  将抛物线向下平移个单位长度所得到的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列语句中，正确的是(    )

A. 经过三点一定可以作圆 B. 等弧所对的圆周角相等
C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 三角形的外心到三角形各边距离相等

5.  如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，、分别是、边上的高，连接，若，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  若，则______．

10.  若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面面积为______结果保留．

11.  如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，那么线段的长等于______．

12.  如图，为外一点，切于，若，，则的半径是______．

13.  如图，在正六边形中，连接，交于点，则______

14.  如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．

15.  若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______．

16.  如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是______．

17.  若抛物线：与抛物线：关于轴对称，则______．

18.  如图，正方形的边长为，为延长线上一点，以为边作等边，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：；
计算：．

20.  本小题分
如图，已知，点、在线段上，．
求证：；
若，，，则______．

21.  本小题分
某中学语文“阅读节”期间对学校部分学生阅读“中国小说类”名著的情况进行了抽样调查，其中调查涉及篇目有西游记水浒传骆驼祥子红岩共部，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以信息，解答下列问题：
请将条形统计图补充完整；
本次抽取学生阅读名著数量部的众数是______ ，中位数是______ ．
根据上述抽样调查的结果，请估计该校共名学生中“中国小说类”名著阅读量部不少于部的学生人数有多少？

22.  本小题分
卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是年和年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了张正面分别印有这四个图案的卡片卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这张卡片分别用字母，，，表示，并将这张卡片正面朝下洗匀．
军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是______；
军军从这张卡片中任意抽取张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取张卡片，请利用画树状图或列表法，求抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率．

 

23.  本小题分
已知二次函数是常数的图象是抛物线．
求证：抛物线顶点在函数的图象上；
若点，在抛物线上，且，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从地面处测得塔顶的仰角为，测得塔底的仰角为已知通讯塔的高度为，求这座山的高度结果取整数．
参考数据：，．

25.  本小题分
如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，且，求的半径与线段的长．

26.  本小题分
某超市销售一种玩具，每个进价为元．当每个售价为元时，日均销售量为个，经市场调查表明，每个售价每增加元，日均销售量减少个．
当每个售价为元时，日均销售量为______个；
当每个售价为多少元时，所得日均总利润为元；
当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

27.  本小题分
在中，，在中，，请探索解答下列问题．
【问题发现】
如图，若，点，分别在，上，则与的数量关系是______，直线与的夹角为______；
【类比探究】
如图，若，将绕点旋转至如图所示的位置，则与之间是否满足中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】
在的条件下，若，将绕点旋转过程中，当，，三点共线．请直接写出的长．
 

28.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，过、两点作直线．
求抛物线的函数表达式；
如图，连接、，点是抛物线上一点，当时，求点的坐标；
若点是抛物线的对称轴上的一点，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原方程为一元一次方程，不符合题意；
B、原方程为二元一次方程，不符合题意；
C、原方程为一元二次方程，符合题意；
D、原方程为分式方程，不符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】
解：与的相似比为：，
与的周长比为：；
故选C．

3.【答案】 

【解析】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为，
由平移不改变二次项系数，
故得到的抛物线解析式为：．
故选：．
原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．

4.【答案】 

【解析】解：、经过不共线的三点一定可以作圆，所以选项错误；
B、等弧所对的圆周角相等，所以选项正确；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以选项错误；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以选项错误．
故选：．
根据确定圆的条件对进行判断；根据圆周角定理对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据三角形外心的性质对进行判断．
本题考查了与圆有关的知识，有三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦定理，圆周角定理等．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
A、若，且，无法判定∽，故选项A符合题意；
B、若，且，可判定∽，故选项B不符合题意；
C、若，且，可判定∽，故选项C不符合题意；
D、若，且，可判定∽，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定依次判断可求解；
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交与点，连接，

同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为．
故选：．
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用的长度除以的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到，，则，结合为公共角得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】
解：、分别是、边上的高，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
．

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，．

由题意垂直平分线段，
，
，
，
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
的面积的最大值为，
故选：．
如图，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，解直角三角形求出，再根据垂径定理求出的长，进而求出的最大值，可得结论．
本题考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出的最大值，属于中考常考题型．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
直接利用比例的性质得出，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面积计算，考查了扇形面积公式，属于基础题．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积．
【解答】
解：该圆锥的侧面面积
故答案为．

11.【答案】 

【解析】解：设长为，为，
，
，即，
解得，．
故答案为．
设长为，为，利用平行线分线段成比例定理得到，从而可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

12.【答案】 

【解析】解：连接，
切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据切线的性质得出，由已知条件可得是等腰直角三角形，进而可求出的长，问题得解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

13.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，求出，由三角形的外角性质即可求出的度数．
本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握正六边形的性质，求出和是解决问题的关键．

14.【答案】 

【解析】 解：根据题意可知：，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意可得，，所以，进而可以解决问题．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形性质和勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

15.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次函数的性质和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

16.【答案】 

【解析】解：分别过、作，，垂足分别为，，
，，
，，
与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
，，
点的坐标是，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，
故点的坐标是：
故答案为：
分别过、作，，垂足分别为，，根据位似图象的性质得出的长，再解直角三角形进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．

17.【答案】 

【解析】解：因为抛物线：与轴的交点为，对称轴为直线，
而抛物线：与抛物线：关于轴对称，
所以抛物线：与轴的交点为，对称轴为直线，
所以，，解得，
所以．
故答案为．
先利用二次函数的性质得到抛物线：与轴的交点为，对称轴为直线，在利用关于轴的性质得到抛物线：与轴的交点为，对称轴为直线，所以，，然后求出后计算的值．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

18.【答案】 

【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，

，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当时，有最小值，即有最小值，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由垂线段最短可得当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
原式

． 

【解析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先代入三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算减法即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20.【答案】证明：，
，
又，
，
，，
，
；
． 

【解析】【分析】
本题主要考查三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质并灵活运用．
由平行线的性质可得，，从而可得，即可判定；
由相似三角形的性质可得，从而可求得，即可求的长．
【解答】
解：见答案；
，
，
，，
，
解得：，
．
故答案为：．

21.【答案】部  部 

【解析】解：被调查的人数为人，
读本的人数为人，
补全图形如下：


本次抽取学生阅读名著数量部的众数是部，中位数是部，
故答案为：部，部；

人，
答：估计该校共名学生中“中国小说类”名著阅读量部不少于部的学生人数有人．
先由阅读名著部的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再根据各数量之和等于总人数求出部人数，从而补全图形；
根据众数和中位数的概念求解可得；
用总人数乘以样本中阅读部、部人数和所占比例即可得．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，即、，
抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率为． 

【解析】解：军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
见答案
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】证明：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线顶点在函数的图象上；
解：抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，；
当时，，
，

解得． 

【解析】将抛物线的解析式化为顶点式，将顶点横坐标代入函数求出的值，与顶点纵坐标比较即可得到答案；
由点、点的横坐标求出、，进而列不等式求解．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

24.【答案】解：设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这座山的高度约为米． 

【解析】设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

25.【答案】证明：连接，如图，

，
．
，
．
．
．
，
．
是的半径，
是的切线；
解：在中，
，，
，
．
即的半径为．
，
，
．
，，
．
，
，
． 

【解析】连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用平行分线段成比例定理列出比例式即可求得的长．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线分线段成比例定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

26.【答案】 

【解析】解：当每瓶的售价为元时，日均销售量为个，
故答案为：；
设每瓶的售价为元，
根据题意可得：，
整理，得：，
解得：，，
答：当每瓶售价为元或元时，所得日均总利润为元；
设日均利润为，
则
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当每瓶售价为元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为元．
根据日均销售量为计算可得；
根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得；
根据中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．

27.【答案】   

【解析】解：，，，
，
，，
，，
，
，
直线与的夹角为，
故答案为：，；
不满足，，直线与的夹角为，
理由如下：如图，过点作于，延长、交于点，
，
，
，，，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
同理可得：，
，
，
∽，
，，
，，
，直线与的夹角为；
如图，点在线段上，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，
如图，点在线段上，
，
，
综上所述：当，，三点共线．的长为或．
根据等腰直角三角形的性质得到，，计算即可；
过点作于，延长、交于点，根据直角三角形的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可；
分点在线段上、点在线段上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

28.【答案】解：将点、代入，
，
，
；
令，则，
，
，
，对称轴为直线，
，，
设直线的解析式为，将，带入得 ，
，
，
如图，过点作垂直对称轴交于点，连接交对称轴于点，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将，带入
得，

，
联立，
或
；
如图，连接，过点作交于点，
由可得，，
，
，
，，
，
以点为圆心的圆经过、两点，
在中，，即，
圆与直线相切，
，
，
，
，
，
点的坐标为或 

【解析】将点、代入，即可求解析式；
过点作垂直对称轴交于点，连接交对称轴与点，可求，由于，可得，求出，即可求，再求直线的解析式为，联立，即可求；
过点作交于点，则，在中，，又由，则，求出，即可求分别求出，，则可求点的坐标．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质是解题的关键．