2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第七章立体几何与空间向量7.7向量法求空间角（一）课件

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能用向量法解决异面直线、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝_______.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　 　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　 　)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cs〈u，n〉.(　 　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
跟踪训练1　(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_____.
设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设异面直线AB和CD所成的角为θ，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]
利用空间向量求线面角的解题步骤
(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
显然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一个法向量.
设GB与平面ABCD所成的角为θ，
2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
4.(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为
方法一　设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，∵P是C1D1的中点，∴PQ∥CD1∥A1B，故∠APQ就是AP与BA1所成的角或其补角，
方法二　设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
5.(2023·招远市第二中学模拟)若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为
取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面B1DC的法向量，
令z＝1，得n＝(0,2,1)，设直线AD与平面B1DC所成的角为α，则
以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，设直线PB与平面PAC所成的角为α，
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值.
设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
设PB与AC所成的角为θ，则
10.如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.
(1)证明：EF∥平面A1CD；
(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
方法一　设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，OA1，OD，OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝2，得n＝(2,1,0).设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，
方法二　因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.如图，在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交A1D的延长线于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.
11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点.有以下三个命题：①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；②三棱锥B－A1EF的体积是定值；③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值.其中真命题的个数是A.3 B.2 C.1 D.0
12.(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1，下列说法正确的是A.直线AC1⊥平面A1BDB.若平面A1BD与平面AB1D1的交线为l，则l与AD所成的角为45°
如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝－1，则y＝z＝1，即n＝(－1,1,1)，
∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，
则直线AC1⊥平面A1BD，故A正确；结合图形可知，平面A1BD与平面AB1D1的交线l即为直线MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，
∴l与AD所成的角为45°，故B正确；
如图，取棱CC1的中点E，连接PC1，QC1，PE，BE，∵P，E分别为棱DD1，CC1的中点，则PE∥DC且PE＝DC，又∵AB∥DC且AB＝DC，则PE∥AB且PE＝AB，∴四边形ABEP为平行四边形，则AP∥BE，∵Q，E分别为棱BB1，CC1的中点，则C1E∥BQ且C1E＝BQ，
∴四边形BEC1Q为平行四边形，则BE∥C1Q，∴AP∥C1Q，同理可证，AQ∥C1P，∴经过点A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形AQC1P，
13.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为____.
取x＝a，则m＝(a，－a，－1)，
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为_____；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sin θ的值为_____.
(1)求点C到平面C1MN的距离；
∴AB⊥AC，∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面ACC1A1，又CM⊂平面ACC1A1，∴AB⊥CM，∵M，N分别为AA1，BB1的中点，∴MN∥AB.∴CM⊥MN，
在Rt△AMC和Rt△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，
∵MN∩C1M＝M，MN，C1M⊂平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN，
(2)试确定动点P的位置，使直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.
∵AA1⊥平面ABC，由(1)得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,8)，M(0,0,4)，B1(3,0,8)，
设平面BB1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
设直线MP与平面BB1C1C所成的角为θ，
若m＝0，sin θ＝0，此时，点P与点A重合；