[数学][期末]北京市海淀区2022-2023学年高二下学期期末试题(解析版)

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1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，则.
故选：B
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】为,
故选：C
3. 已知为等比数列，公比，则（ ）
A. 81B. 27C. 32D. 16
【答案】A
【解析】根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选：A
4. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，在上的平均变化率为，
对于B，在上的平均变化率为，
对于C, 在上的平均变化率为，
对于D，在上的平均变化率为，
由于，故在上的平均变化率最大，
故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，
对于B，由于，所以，又单调递增函数，所以，故B错误，
对于C，若，显然满足，，故C错误，
对于D，若，则，
函数在上单调递增，所以，
当，则，
函数在上单调递增，所以，
当，则，综上可知D正确 ，故选：D
6. 已知函数，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以，
故选：B
7. 从这本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生（每人一本）．如果甲不得读物，则不同的分法种数为（ ）
A. 24B. 18C. 6D. 4
【答案】B
【解析】若读物没被选出，则选出的读物直接全排列分给人，有种方法；
若读物被选出，然后选其他的读物，有种，甲有种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有种方法，共种.
故一共有种.
故选：B
8. 已知等差数列前项和为，公差为，则“有最大值”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，
当时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然取到最大值，
当，则等差数列的项必然先正后负，不妨设，则取到最大值，故可以推出有最大值；
若有最大值，当时，，若，则取到最大值,充分性不成立.
于是“有最大值”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9. 学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从8名候选人中选4名同学，共有种选择，
甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有
所以概率为，
故选：C
10. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，则，
由题意，得到，从而，
而，
故，令，
由，
于是有两个根，满足，
注意到二次函数开口向上，对称轴为，故，
解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，.
故选：D
第二部分（非选择题 共60分）
二、空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
【答案】
【解析】展开式的通项为：，，
由题意，取，.
故答案为：
12. 不等式的解集是________．
【答案】或.
【解析】等价于，即，等价于，解得：或.
即不等式的解集是或.
故答案为：或.
13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立，
记，
当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且，
故，即，所以，
故答案为：
14. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为________万条时，该软件能获得最高收益．
【答案】19
【解析】设收益为元，则，.
当时，；当时，.
即函数在上单调递增，在上单调递减.
即当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．
故答案为：19
15. 已知各项均不为零数列，其前项和是，且给出下列四个结论：
①；
②为递增数列；
③若，则的取值范围是；
④，使得当时，总有．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】由得，
相减可得，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于①，，故正确；
对于②，由于，，无法确定的大小关系，所以无法确定为递增数列；故错误，
对于③，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
所以，
若，则需要，
则的取值范围是；故正确，
对于④，若，则，只要足够大，一定会有 ，此时时，
此时只需要,即，所以存在，当且比大的正整数时，
此时时，总有，故正确
故答案为：①③④
三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
解：（1）设等差首项和公差分别为，
由得，
所以；
（2）设等比首项和公差分别为，
若选①②，由得；
由得，
所以公比为，故，
故，
故；
若选②③，
由可知公比不为1，所以，
由得，
所以，
故，
故；
若选①③，由可知公比不为1，所以，
由得；
所以，
故，
故.
17. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
（1）若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
（2）若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望．
解：（1）记表示“第件产品是一等品”；
记表示“第件产品是二等品”；
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；
此时，易知，
则；
（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；
；
所以的分布列如下：
②由①可得，的分布列如下：
则.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数；
（3）若对任意的，都有，求实数的最大值．
解：（1）当时，函数，可得，
所以且，即切线的斜率为且切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）当时，函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也为最小值，
所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为.
（3）由对任意的，都有成立，即成立，
令，可得，
因为，要使得恒成立，
则满足，即，
下面证明：当时，符合题意，
此时，令，
可得，所以为单调递减函数，
因为，所以，即
所以恒成立，
即当时，对任意的，都有成立，
综上可得，实数的取值范围为.
19. 给定整数，对于数列定义数列如下：， ，其中表示，这个数中最小的数．记．
（1）若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；
（2）求证：若，则有；
（3）若，常数使得恒成立，求的最大值．
解：（1）根据题意，若数列为，
可得，即数列为：；
若数列为，
可得，即数列为：.
（2）由题设条件知，若时，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以当，则成立.
（3）不妨设，
若，因为，所以，
此时显然取任意实数都满足条件；
下面设，则的充分必要条件时，
假设，
因为，所以，
当时，由，
所以 ，
当时，有，
仍然有成立，所以，
因为，所以，
所以，取，所以，
所以的最大值为.产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20
0
1
2
3