2022-2023学年四川省成都市蓉城名校高二下学期期末联考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校高二下学期期末联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，然后利用集合间的交集运算即可.

【详解】，

，

则，

故选：A．

2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（    ）

A．10 B．6 C．5 D．3

【答案】A

【分析】先求出四川大学和电子科技大学学生人数之比，然后按照比列抽取即可.

【详解】四川大学和电子科技大学学生人数之比为，

则从四川大学学生中抽取的人数为.

故选：A．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】由可得，或，

“”是“”的充分不必要条件.

故选：B．

4．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量运算律以及数量积的计算公式即可得出结果.

【详解】易知.

故选：B．

5．已知函数在点处的切线方程为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】，

函数在点处的切线方程的斜率为，

的值为1.

故选：C．

6．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式逐项进行验证即可求解.

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，选项A正确，

对于B，，当且仅当时取等号，选项B正确，

对于C，，选项C正确，

对于D，，当且仅当时取等号，选项D错误，

故选：D．

7．若满足约束条件则的最大值是（    ）

A．5 B．10 C． D．20

【答案】D

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，目标函数表示到原点距离的平方，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数表示到原点距离的平方，

由图象可得，当取得点时，联立方程组，解得，

此时的最大值为.

故选：D.

8．已知函数，则（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】C

【分析】先求出，再求出.

【详解】，

故选：C．

9．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据图象得到函数为偶函数，结合选项可排除B、D项，再由函数的极值点，排除C项，即可求解.

【详解】由图可知，函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，

对于B中，函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意；

对于D中，函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意；

对于C中，函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的极值点为和，这与图象不符，不符合题意；

故选：A.

10．设经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点是直线上的一动点，则为（    ）

A．锐角 B．直角

C．钝角 D．以上均可能

【答案】A

【分析】设出动直线，，将直线方程与抛物线方程联立可得，利用韦达定理和平面向量的数量积即可求解.

【详解】设，

直线与抛物线联立可得：，

则，

为锐角，

故选：A．

11．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据外接球的特点和线面垂直的判定结合几何关系即可求解.

【详解】  

因为平面，平面，所以，

由面，所以面，

由面，则，由面，则，

是和的公共斜边，则是三棱锥的外接球直径，

由，

设，则，则，

故选：C．

12．已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求得双曲线的渐近线方程，求得点到双曲线的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解.

【详解】设，则，即，

渐近线方程为，即，

则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：，

因为，则，

可得，即，

又由，可得，所以，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：D．

二、填空题

13．若复数满足，则      ．

【答案】

【分析】根据复数的运算求出，然后代入即可求解.

【详解】，则，

故答案为：．

14．函数的单调递减区间为      ．

【答案】

【分析】对函数求导，利用导函数的正负判断原函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数，则，

则单调递减区间为，

故答案为：．

15．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为      ．

【答案】

【分析】由双曲线的离心率为，可求出，即可求出双曲线的渐近线，进而求出m可能取的值为，即可求出答案.

【详解】由离心率为可得，解得：，

则的渐近线为，

则m可能取的值为，和为0.

故答案为：0．

16．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解.

【详解】因为，

根据题意和函数图象可知，

有两个根，则有3个根，

的图象如图所示，

结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以.

故答案为：．

三、解答题

17．设是函数的两个极值点，且．

(1)求的值；

(2)求在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，由题意结合韦达定理可求出 ，代入方程即可求出答案；               

（2）对求导，得到的单调性和极值，比较两个极值和的大小即可得出答案.

【详解】（1），，                

由，

因为是函数的两个极值点，

可知，    

，解得；经检验符合题意

（2），

令可得：；令可得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，                        

列表如下：

在区间上的最大值为，最小值为

在区间上的值域为．

18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：

(1)求的相关系数，并判断销量y与售价x是否有很强的线性相关性？（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）；

(2)请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？

参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：．

【答案】(1)有很强的相关性

(2)，当时，

【分析】（1）根据公式求出相关系数，即可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出回归方程即可，再令，即可得解.

【详解】（1），，

，，，

则，

有很强的相关性；

（2），

，

关于x的线性回归方程为：，

当时，．

19．在四棱锥中，底面是矩形，若，．

(1)证明：平面平面；

(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；

（2）根据题意得到动点在线段上移动，等于点到平面的距离的一半，取的中点，得到，且，结合，即可求解.

【详解】（1）证明：在中，，可得，

所以为直角三角形且，

又因为底面是矩形，则，

因为，且平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）解：因为底面是矩形，且，可得，

又因为分别为的中点，所以，

动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

即点到平面的距离的一半，

由（1）知平面平面，且，

取的中点，连接，可得，且，

又因为平面平面，且平面，所以平面，

所以.

20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，利用直线与圆相切可得出，然后将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及已知条件可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可知，可得，，

所以，椭圆的方程为.

（2）解：设直线的方程为，

因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，

则，得，

联立得，

则，

设、，则，

 所以，，

，

因为的取值范围是，即，

整理可得，又因为，所以，，解得，

因此，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

21．已知函数，，．

(1)当时，证明：时，恒成立；

(2)若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；

(3)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）当，求得，结合，即可得证；

（2）由，求得，得到，求得函数的单调性，结合的值，即可求解.

（3）根据题意转化为有两个不同的零点，设，求得，得出函数的单调性，进而求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：当，函数，可得，

所以函数在单调递增，

所以，所以当时，恒成立.

（2）解：由，可得，所以，解得，

因为，令，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在区间单调递减，在区间单调递增，

又因为，可得，

所以函数在区间上的值域为.

（3）解：由题意有两个不同的零点，

即有两个不同的零点，即有两个不同的零点，，

设，可得，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，                    

当，当，，    

要使有两个不同的交点，可得，

所以实数的取值范围是.

22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；

(2)若点，直线l与圆相交于两点，求的值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）圆的参数方程（为参数），利用可得普通方程，再将代入圆的普通方程即可求解；

（2）把直线l的参数方程代入圆的普通方程可得，利用根与系数的关系和参数的几何意义即可求解.

【详解】（1）由圆的参数方程（为参数）得：

，                        

根据，                                    

则圆的极坐标方程为：；

（2）把直线l的参数方程代入圆的方程得，

设A，B两点对应的参数分别为，

则，，

．