2022-2023学年天津市和平区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市和平区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合.

【详解】因为，

，

又因为，所以，

所以．

故选：D.

2．已知为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由，即，即，解得或，

所以由推不出，故充分性不成立，

由可以推出，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ）

A．与具有正线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为

D．若该中学某女生身高增加，则其体重约增加

【答案】C

【分析】根据回归直线方程一一判断即可.

【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A正确；

又回归直线必过样本点的中心，故B正确；

当时，

即若该中学某女生身高为，则其体重约为，故C错误；

因为回归直线方程为，所以若该中学某女生身高增加，

则其体重约增加，故D正确；

故选：C

4．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（    ）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”

C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”

D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”

【答案】A

【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；

【详解】因为，即，

所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．

故选：A．

5．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的定义域，由函数的奇偶性及在部分区间上函数值的正负、变化情况判断作答.

【详解】函数的定义域为，，

即为奇函数，图象关于原点对称，排除A；

当时，，，即，当时，，，即，排除C；

而当时，，函数在上单调递减，趋近于0，排除D，选项B符合题意.

故选：B

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数与对数函数的性质判断即可.

【详解】因为，又，在上单调递减，

所以，所以.

故选：B

7．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．

【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，

依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，

所以，

甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，

所以，

则，

故选：B．

8．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值．

【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.

故选：B.

9．已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.

【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于，

所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，

令，则，

当时，，故当此时单调递增，

当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，

且当时，，

当时，，且单调递增，

在直角坐标系中画出的大致图象如图：

要使有两个交点，则，

故选：D

二、填空题

10．已知是函数的导函数，若，则      ．

【答案】/

【分析】先求出导函数，再求的值，最后求的值.

【详解】由题得

令得，

，

所以.

故答案为：.

11．设随机变量服从正态分布，若，则      ．

【答案】/

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】因为且，

所以，

所以.

故答案为：

12．若随机变量，，则      ．

【答案】

【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解.

【详解】因为随机变量，

所以，解得，

所以.

故答案为：.

13．二项式的展开式中常数项为      ．（用数字作答）

【答案】

【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得.

【详解】由题意，二项式的展开式的通项为：

，（且），

令，得，

可得，即展开式的常数项是.

故答案为：.

14．已知，则的最小值是      ．

【答案】

【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.

【详解】∵，

∴且，

∴，

当且仅当，即，时取等号，

∴的最小值为.

故答案为：.

15．用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有         个.（用数字作答）

【答案】312

【分析】分两种情况，结合排列数和组合数公式求解.

【详解】偶数包含2，4，6，奇数包含1，3，5，7，

1.若四位数没有偶数，则都是奇数，有个；

2.若四位数有一个偶数，三个奇数，有个，

综上可知，共有个.

故答案为：312

三、解答题

16．化简求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得.

【详解】（1）

.

（2）

.

17．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为．

(1)求n的值；

(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望．

【答案】(1).

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）利用古典概型的概率公式可得关于的方程，求出其解可得的值.

（2）利用超几何分布可求的分布列和数学期望.

【详解】（1）设为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则，

故或（舍）.

（2）可取，

，，，

，

故的分布列如下：

故.

18．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值．

【答案】(1)

(2)或时，当时

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

依题意，即，解得，

所以，经检验符合题意.

（2）由（1）可得，，

则，

所以当或时，

当时，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

又，，，，

所以当或时，当时.

19．函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）由和可求得，验证可知满足题意，由此可得解析式；

（2）任取，由可得结论；

（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：，

，解得：；

当，时，，

，满足为奇函数；

综上所述：.

（2）在上单调递增；

证明如下：任取，

；

，，，，，

在上单调递增.

（3）为定义在上的奇函数，由得：，

又在上单调递增，，解得：，

不等式的解集为.

20．已知函数；

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)证明：当，且时，．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（3）根据题意，将问题转化为，然后构造函数，证明其单调性，即可得到证明.

【详解】（1）当时，则，，所以，

所以切线方程为.

（2）因为的定义域为，

则，

当，即时恒成立，所以在上单调递增，

当，即时，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减；

当时恒成立，所以在上单调递增，

当时，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减；

综上可得：当时在上单调递增；

当时在上单调递增，在上单调递减；

当时在上单调递增，在上单调递减；

（3）要证，即证，

即证，

即证，

令，，则，

所以在区间单调递增，所以当时，，

即当时，．

令，，则在时恒成立，

所以当，且时，单调递增，

因为时，，，且，

所以当，且时，，即．

所以当，且时，．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，解决本题的关键在于构造函数，用其单调性去证明不等式.