2022-2023学年天津市重点校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年天津市重点校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，再求即可.

【详解】由已知，又，

.

故选：B.

2．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解含绝对值不等式以及分式不等式，再根据两解集包含关系判断充要关系.

【详解】因为，所以，因为，所以或，

因为，所以是的充分不必要条件，选A.

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3．函数的图像大致为（     ）

A．     B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.

【详解】设，

对任意，，

所以，

所以的定义域为，

，

所以函数为奇函数.

令，

可得，即，

所以，可得，

由可得，解得，

所以的定义域为，

又，

所以函数为奇函数，排除BD选项，

当时，是减函数，

则，，

所以，排除A选项.

故选：C

4．记等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据等比数列通式求出，再化简得，代入计算即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由，得，

故选：D.

5．中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（    ）

①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解，结合相关性的定义以及回归方程即可逐一判断.

【详解】由，，因为回归直线过样本中心，，，②错误；

可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③正确；

由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④错误．

故选：B．

6．已知,,，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，，由得，从而可得.

【详解】因为，，，

所以，，

又因为，，

所以，即.

故.

故选：D

7．已知，均为正数，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．16 C．24 D．32

【答案】B

【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】当时，，，故，不符合题意，故，

，当，即时等号成立.

故选：B

8．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ）

A．72 B．78 C．126 D．240

【答案】B

【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.

【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，

则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：

种情况，

②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：

种情况，

③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，

所以满足题意的情况为：，

故选：B.

9．定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先考虑命题使得成立的否定为真命题时a的取值范围，再求其补集即可.

【详解】命题使得成立的否定为对，，

因为当或时，，当时，，

所以当或时，，

若命题，为真命题，

则当时，恒成立，

所以，其中，

设，

当时，函数在单调递增，

所以当时，函数取最小值，所以，

所以，矛盾；

当时，函数在单调递减，

所以当时，函数取最小值，所以，

所以，矛盾；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以时，函数取最小值，所以，

所以，

所以当时，命题，为真命题，

所以若使得成立，则a的取值范围为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、填空题

10．命题“，”的否定是             .

【答案】

【分析】根据存在量词命题的否定的知识写出正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

注意到要否定结论，而不是否定条件，

所以命题“，”的否定是“”.

故答案为：

11．曲线在点处的切线方程为    .

【答案】

【分析】对函数求导，可求出，又点在曲线上，结合导数的几何意义，可求出切线方程.

【详解】由题意，，

因为，所以，

故曲线在点处的切线方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

12．展开式中的常数项为      ．

【答案】

【分析】求出所给二项式的展开式的通项Tr+1，再求出x的幂指数为0的r值即可计算作答.

【详解】展开式的通项为：，

由得，，于是得，

所以展开式中的常数项为210.

故答案为：210

13．幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点          .

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和单调性可求出的值，可得出函数的解析式，令真数为，可求得函数的图象所过定点的坐标.

【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，

所以，，令，可得，且，

故函数的图象过定点.

故答案为：.

14．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为          ．

【答案】

【分析】由全概率公式即可处理.

【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应

）则,且两两互斥.

由题意可得：,

15．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为          .

【答案】或

【分析】由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.

【详解】因为函数有唯一零点，

所以函数有唯一零点，

因为函数是定义在上的偶函数，所以，

所以，

所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，

所以函数的零点为，

所以，

因为函数是定义在上的奇函数，所以，

又由可得，所以，

所以

解得或．

故答案为：或．

三、解答题

16．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球.

(1)求得分的分布列及均值；

(2)求得分大于6的概率.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解，

（2）根据分布列即可求解概率.

【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为,

所取小球为1白3黑时，

所取小球为2白2黑时，

所取小球为3白1黑时，

所取小球为4白时，

所以，随机变量的分布列为

随机变量的均值为：

（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为

17．数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，当时，可得，

两式相减求得，又由时，，符合上式，即可求解；

（2）求出，再用错位相减法可求.

【详解】（1）由题意，数列满足，

当时，可得，

两式相减，可得，所以，

又由当时，，符合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，则，

所以①

②，

①-②得

.

所以数列的前项和.

18．已知函数.

(1)若是的极值点，求的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.

【答案】(1)1

(2)答案见解析

(3).

【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；

（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；

（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.

【详解】（1）因为

则，即，所以，经检验符合题意

（2），则.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得，

若，则；若，则.

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（3）当时，由可得，令，其中，

则直线与函数在上的图像有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

19．已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.

【答案】(1)，

(2)

(3)2

【分析】（1）根据与的关系证明为等比数列，根据等差数列性质求的首项及公差，再利用等比数列和等差数列通项公式求，的通项公式；

（2）利用裂项相消法求和即可；

（3）由（1）求，由条件可得，判断数列的单调性求其最值，由此可得，结合基本不等式求的最大值.

【详解】（1）由，得，

当时，，即，

所以，且，

所以，

所以为首项为，公比为3的等比数列，

所以.

设等差数列的公差为，

则，解得，，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

令为的前项和，

则

即.

（3）因为，，

，

所以，

故恒成立，

设，

当时，；

当时，，即，

所以，即，

所以，

所以恒成立，

即恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，故的最大值为2.

20．已知函数．

(1)证明：当时，恒成立；

(2)若且，证明：，．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】(1)由条件可得，利用导数求其最小值，由此可证明结论，

(2)利用导数求函数的单调性，由条件证明，分析可得要证明，

只需证明，利用导数研究函数的单调性，利用单调性完成证明.

【详解】（1）由已知，当时，，

函数的定义域为，且，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以，

所以恒成立；

（2）因为，，

所以，其定义域为

所以，

令，可得或，

又，所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

因为，，

所以，由(1)知，，

因为，所以，

所以，

要证明，只需证明，

只需证明，

只需证明，

令，

则，

设，

则，

所以函数单调递增，即函数单调递增，

而，故当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，当且仅当时等号成立，

但，故，

所以.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数证明不等式，关键点在于找到变量间的关系，将二元问题转化为一元问题，考查转化思想和逻辑推理能力，属于难题.