2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{1，3}，C＝{4}，若C⊆A，A∩B＝{1}，则A＝（　　）
A．{1，2，4} B．{1，4} C．{2，5} D．{1，2，3}
2．命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0”的否定为（　　）
A．∀x∉R，ln（x2+1）≤0 B．∃x∈R，ln（x2+1）≤0
C．∀x∈R，ln（x2+1）≤0 D．∃x∉R，ln（x2+1）≤0
3．已知a＝log5，b＝，c＝（）0，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＝c＞a D．c＞b＞a
4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E（ξ）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量＝（2cos2x，），＝（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（　　）
A．关于直线对称
B．关于点对称
C．周期为2π
D．y＝f（x）在上是增函数
6．函数y＝的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设，则（　　）​

A．函数y＝f（x）的值域为（0，4]
B．函数y＝f（x）的最大值为8
C．函数y＝f（x）在上单调递减
D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x）
8．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99m，转盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
9．若函数​f（x）＝在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10．若复数，则|z|＝　 　．
11．向量＝（1，﹣2）在向量＝（﹣4，3）方向上的投影向量是 　 　．
12．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 　 　．
13．重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（105，δ2）．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　 　．
14．已知向量，满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，则与的夹角为　 　．
15．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k|x+2|有三个零点，则实数k的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（2a﹣b）cosC＝ccosB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，b＝3，CD为角C的平分线，求CD的长；
（3）若acosB+bcosA＝4，求锐角△ABC面积的取值范围．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求三棱锥A﹣BDE的体积；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）若a2＝5，令，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）若，求函数f（x）的最小值及取得最小值时的x值；
（Ⅱ）求证：lnx＜ex﹣1；
（Ⅲ）若函数f（x）≤xex﹣（a+1）lnx对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．


参考答案
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{1，3}，C＝{4}，若C⊆A，A∩B＝{1}，则A＝（　　）
A．{1，2，4} B．{1，4} C．{2，5} D．{1，2，3}
【分析】由C⊆A，可知4∈A，由A∩B＝{1}知，1∈A，从而可确定A中元素．
解：由C＝{4}且C⊆A可知：4∈A，
由A∩B＝{1}知：1∈A，故A＝{1，2，4}，
故选：A．
【点评】本题考查集合的包含关系，交集的意义，属基础题．
2．命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0”的否定为（　　）
A．∀x∉R，ln（x2+1）≤0 B．∃x∈R，ln（x2+1）≤0
C．∀x∈R，ln（x2+1）≤0 D．∃x∉R，ln（x2+1）≤0
【分析】根据全称量词命题的否定为存在性量词命题即可判断．
解：由题意得：全称量词命题的否定为存在性量词命题，
故命题“∀x∈R，ln（x2+1）＞0“的否定为“∃x∈R，ln（x2+1）≤0“．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．已知a＝log5，b＝，c＝（）0，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＝c＞a D．c＞b＞a
【分析】对a，b，c的值进行化简而后进行比较．
解：由题意a＝，
b＝1，
c＝1，
所以有b＝c＞a．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数和乘方的运算，属基础题．
4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E（ξ）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】求得ξ的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可．
解：由题意，ξ可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，
E（ξ）＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．
5．已知向量＝（2cos2x，），＝（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（　　）
A．关于直线对称
B．关于点对称
C．周期为2π
D．y＝f（x）在上是增函数
【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据正弦函数的性质判断．
解：f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，
当x＝时，sin（2x+）＝sin≠±1，∴f（x）不关于直线x＝对称；
当x＝时，2sin（2x+）+1＝1，∴f（x）关于点（，1）对称；
f（x）得周期T＝＝π，
当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在上是增函数．
故选：D．
【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
6．函数y＝的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义域与函数值的符号进行判断．
解：由函数有意义得2x﹣2≠0，即x≠1，排除B，C；
当x＜0时，y＝，排除D；
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从定义域、值域、特殊点、单调性等方面进行判断，属于基础题．
7．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设，则（　　）​

A．函数y＝f（x）的值域为（0，4]
B．函数y＝f（x）的最大值为8
C．函数y＝f（x）在上单调递减
D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x）
【分析】根据空间四边形的性质证明四边形EFGH为矩形，然后根据比例关系求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可．
解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
则四边形EFGH为平行四边形，
∵两条对角线AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，
则四边形EFGH为矩形，
∵＝x，
∴＝＝＝＝1﹣x，
即EH＝（1﹣x）BD＝6（1﹣x），
同理＝＝x，
则EF＝x•AC＝4x，
则四边形EFGH的面积为y＝EH•EF＝4x•6（1﹣x）＝24（x﹣x2）＝﹣24（x﹣）2+6，
∵x∈（0，1），
∴当x＝时，函数取得最大值6，故A，B错误．
函数的对称轴为x＝，则函数在（0，）上是单调递减函数，在（，1）上是单调递增函数，故C错误；
∵函数的对称轴为x＝，
∴函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x），故D正确，
故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面的位置关系、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99m，转盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】设函数H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，根据实际意义即可确定解析式．
解：设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（0≤t≤21），
∵开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要21min，
∴，∴，
∵t＝0时，H（0）＝9，∴9＝45sinφ+54，即sinφ＝﹣1，解得．
∵摩天轮最高点距离地面高度为99m，转盘直径为90m，
∴该摩天轮最低点距离地面高度为9m，
∴，解得A＝45，B＝54．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数的应用，属于中档题．
9．若函数​f（x）＝在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
解：①当x≤0时，f（x）＝x+3x．
∵函数y＝x与y＝3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）＝x+3x在区间（﹣∞，0]上也单调递增
又f（﹣1）＝﹣1+3﹣1＝﹣1+＝﹣＜0，f（0）＝1＞0，所以函数f（x）在（﹣1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）＝x3﹣4x+a．
∴f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
令f′（x）＝0，且x＞0，解得x＝2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x＝2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（﹣1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即﹣4×2+a＞0，解得a＞．
故a的取值范围是（，+∞）．
故选：C．

【点评】利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10．若复数，则|z|＝　　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
解：由z＝，
得|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11．向量＝（1，﹣2）在向量＝（﹣4，3）方向上的投影向量是 　　．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
解：，，
向量＝（1，﹣2）在向量＝（﹣4，3）方向上的投影向量是：
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
12．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 　0.68　．
【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论．
解：当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率P＝0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2＝0.32，
因此当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率＝1﹣0.32＝0.68，
故答案为：0.68．
【点评】本题考查了全概率公式、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（105，δ2）．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　　．
【分析】结合正态分布特点先求出P（X＞120），再结合独立重复试验的概率公式，即可求解．
解：学生成绩符合正态分布N（105，δ2），
故，
故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14．已知向量，满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，则与的夹角为　　．
【分析】由条件可得求得 ＝1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ＝，再由θ的范围求出θ的值．
解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，
∴+﹣2＝1+﹣8＝﹣6，∴＝1．
∴cosθ＝＝，再由θ的范围为[0，π]，可得 θ＝，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出＝1，是解题的关键，属于中档题．
15．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k|x+2|有三个零点，则实数k的取值范围是 　（0，7﹣4）∪（1，]　．
【分析】分离参数可得k＝h（x）＝，判断h（x）的单调性，计算极值，作出h（x）的函数图象，根据直线y＝k与y＝h（x）有3个交点得出k的范围．
解：当x＝﹣2时，g（x）＝e﹣1≠0，
令g（x）＝0可得：k＝，
令h（x）＝＝，则h′（x）＝，
∴当x＜﹣2时，h′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，h′（x）＜0，当﹣1＜x≤1时，h′（x）＞0，
当1＜x＜2﹣2时，h′（x）＞0，当x＞2﹣2时，h′（x）＜0，
∴y＝h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，在（1，2﹣2）上单调递增，在（2﹣2，+∞）上单调递减，
∴当x＝﹣1时，y＝h（x）取得极小值h（﹣1）＝1，当x＝2﹣2时，y＝h（x）取得极大值h（2﹣2）＝7﹣4，
又当x＜﹣2时，h（x）＝＞0，当x＞1时，令h（x）＝0可得x＝1（舍）或x＝2．
做出y＝h（x）的大致函数图象如图所示：

∵函数g（x）＝f（x）﹣k|x+2|有三个零点，∴直线y＝k与y＝h（x）的图象有三个交点，
∴0＜k＜7﹣4或1＜k≤．
故答案为：（0，7﹣4）∪（1，]．
【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性判断与极值计算，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（2a﹣b）cosC＝ccosB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，b＝3，CD为角C的平分线，求CD的长；
（3）若acosB+bcosA＝4，求锐角△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理整理条件化简可得cosC的值，进而求得C；
（2）设CD＝x，由S△ACD+S△BCD＝S△ABC以及面积公式得到方程，解之即可；
（3）根据正弦定理求得c，进而得到a，b的表达式，再根据面积公式得到关于A的三角函数，结合正弦函数的性质求出面积的取值范围．
【解答】（1）由（2a﹣b）cosC＝ccosB得（2sinA﹣sinB）cosC＝sinCcosB2sinAcosC＝sin（B+C）＝sinA，
∴sinA≠0，∴，
∵0＜C＜π，∴；
（2）设CD＝x，由S△ACD+S△BCD＝S△ABC得．
解得，即角平分线CD的长度为；
（3）设△ABC外接圆半径为R，由acosB+bcosA＝2RsinAcosB+2RsinBcosA＝4，
即2RsinC＝4，∴c＝4，
△ABC的面积，
∵，∴，，
∴＝，
∵，，，∴，，
∴，，
∴．
【点评】本题考查正余弦定理的综合应用，涉及三角恒等变换的化简，三角形面积公式及其应用，属于中档题．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求三棱锥A﹣BDE的体积；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

【分析】（1）取DC中点M，连接EM，易知EM＝1且EM⊥底面ABCD，由此即可求出答案；
（2）由题意易证DE⊥面PBC，则可得PB⊥DE，再结合PB⊥EF，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（3）由题意易知∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，且DE⊥EF，分别求出DE、DF的值，利用，即可求出答案．
解：（1）取DC中点M，连接EM，如图所示：

在△PDC中，M、E分别为CD、CP中点，
∴EM为△PDC的中位线，
∴EM∥PD，且，
又∵PD＝2，
∴EM＝1
∵PD⊥底面ABCD，
∴EM⊥底面ABCD，
∴；
（2）∵PD⊥底面ABCD，且BC⊂面ABCD
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
又PD∩DC＝D，PD、DC⊂面PDC，
∴BC⊥面PDC，又DE⊂面PDC
∴BC⊥DE，
∵PD＝DC，且PD⊥DC，
∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC，
又PC∩BC＝C，PC、BC⊂面PBC，
∴DE⊥面PBC，
∵PB⊂面PBC
∴DE⊥PB，
∵PB⊥EF，
又DE∩EF＝E，DE、EF⊂面EFD
∴PB⊥平面EFD；
（3）由（2）可知PB⊥DF，
故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，
∵PD＝DC＝2
∴，
在△PBD中，，，，
又DE⊥面PBC，
∵EF⊂面PBC
∴DE⊥EF，
在Rt△EFD中，，
∴，
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
【点评】本题主要考查了三棱锥的体积公式，考查了直线与平面垂直的判定定理，以及求平面与平面的夹角，属于中档题．
18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．
解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，
{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，
{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．
（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，
来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，
则事件M包含的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，
∴事件M发生的概率P（M）＝．
【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）若a2＝5，令，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由数列的递推式和数列的恒等式、等差数列的定义可得证明；
（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得bn，Mn＝T2n+1﹣Tn，判断{Mn}为递减数列，求得Mn的最大值，由不等式恒成立思想可得m的不等式，解不等式可得所求取值范围．
解：（Ⅰ）证明：依题意，由＝an+1，可得Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝，
即2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1+1，
整理，可得an﹣1＝（n﹣1）（an﹣an﹣1），
构造数列{bn}，令bn＝an﹣an﹣1，设数列{bn}的前n项和为Tn，
因为a1＝1，即an﹣1＝an﹣a1，
而an﹣a1＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+•••+（an﹣an﹣1）＝b1+b2+•••+bn，
所以an﹣1＝Tn，
即Tn＝（n﹣1）bn，
同理，Tn﹣1＝（n﹣2）bn﹣1，
两式相减，可得bn＝Tn﹣Tn﹣1＝（n﹣1）bn﹣（n﹣2）bn﹣1，
整理，得bn＝bn﹣1，
所以数列{bn}是一个常数列，
当n≥2时，an﹣an﹣1的值为一个固定的常数，
所以数列{an}为等差数列．
（Ⅱ）若a2＝5，则d＝a2﹣a1＝5﹣1＝4，所以an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
＝，数列{bn}的前n项和Tn＝b1+b2+...+bn，
T2n+1＝b1+b2+...+bn+bn+1+...+b2n+b2n+1，
可设Mn＝T2n+1﹣Tn＝bn+1+...+b2n+b2n+1＝++...+，
Mn+1＝++...++，
Mn+1﹣Mn＝﹣＝＜0，
可得{Mn}为递减数列，
所以Mn≤M1＝+＝，
若不等式对任意n∈N*恒成立，
可得m2﹣5m≥45×，解得m≥7或m≤﹣2，
则m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞）．
【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）若，求函数f（x）的最小值及取得最小值时的x值；
（Ⅱ）求证：lnx＜ex﹣1；
（Ⅲ）若函数f（x）≤xex﹣（a+1）lnx对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a＝时，f（x）＝x﹣lnx，求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x﹣lnx≥0，即lnx≤x，要证lnx＜ex﹣1，只需证＜ex﹣1，令g（x）＝ex﹣x﹣1，只需证明g（x）＜0，即可得出答案．
（Ⅲ）f（x）≤xex﹣（a+1）lnx恒成立，等价于xex﹣a（x+lnx）≥0，令h（x）＝xex﹣a（x+lnx）（x＞0），只需h（x）≥0，即可得出答案．
解：（Ⅰ）当a＝时，f（x）＝x﹣lnx，
f′（x）＝﹣＝，
令f′（x）＝0，得x＝e，
所以在（0，e）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（e，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝e时，f（x）min＝0．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知x﹣lnx≥0，即lnx≤x，
要证lnx＜ex﹣1，只需证＜ex﹣1，
令g（x）＝ex﹣x﹣1，
则g′（x）＝ex﹣，
因为x＞0，
所以ex＞1＞，
所以g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以g（x）＞g（0）＝0，
所以＜ex﹣1，
所以lnx＜ex﹣1．
（Ⅲ）f（x）≤xex﹣（a+1）lnx恒成立，等价于xex﹣a（x+lnx）≥0，
令h（x）＝xex﹣a（x+lnx）（x＞0），
h′（x）＝（x+1）ex﹣a（1+）＝（x+1）（ex﹣），
①若a＝0时，h′（x）＝（x+1）ex＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
h（0）＝0，即h（x）＞0，满足xex﹣a（x+lnx）≥0，
②若a＜0时，则﹣a＞0，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x→0时，h（x）→﹣∞，不成立，
所以a＜0不满足题意，
③若a＞0时，令h′（x）＝0，得a＝xex，
令k（x）＝ex﹣，
因为k（x）在（0，+∞）上单调递增，
x→+∞时，k（x）→+∞；x→0时，k（x）→﹣∞，
所以存在x0∈（0，+∞），h′（x0）＝0，a＝x0e，
所以在（0，x0）上h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（x0，+∞）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（x0）＝x0e﹣a（x0+lnx0）＝x0e（1﹣x0﹣lnx0）≥0即可，
所以1﹣x0﹣lnx0≥0，
所以x0+lnx0≤1，
因为x0＝ae，
所以lnx0＝lna﹣x0，
所以x0+lnx0＝lna≤1，
所以a∈（0，e]，
综上所述，a的取值范围为[0，e]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．