九上第3章 圆的基本性质（知识清单）（浙教版）

九上第3章 圆的基本性质知识清单

一、圆的定义

1. 圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点：

 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点：①定点为圆心，定长为半径；

　　  ②圆指的是圆周，而不是圆面；

　　  ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

要点：

　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

　　证明：连结OC、OD

　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　  ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.等弧

　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

      ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同心圆与等圆

　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.

要点：同圆或等圆的半径相等.

三、点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.

 “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；

四、确定圆的条件

（1）经过一个已知点能作无数个圆；

（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；

(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.

(4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

要点：

（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.

（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

五、旋转的概念

   一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.

要点：

（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.

六、旋转的性质

一般地，图形的旋转有下面的性质：

(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等；　　

(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　

要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

七、旋转的作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

要点：作图的步骤：

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

八、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．

注：垂径定理及其推论是证明两条线段相等、两弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来求解．

【微点拨】

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

【知识拓展】

1、根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

2、在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

九、圆心角

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

2.圆心角性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．

十、圆周角

1.圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

2.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

十一、 圆内接四边形

1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．

2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．

十二、正多边形的相关计算

1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．

2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决．

十三、弧长的计算

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．

十四、与扇形有关的面积计算

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR.