广西贵港市名校2023-2024学年高二上学期入学联考数学试题

2023年秋季高二年级入学检测卷

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数，则z的实部为（    ）

A．13 B．11 C．-1 D．1

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（    ）

A．125 B．100 C．150 D．120

4．要得到函数的图象，需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

5．在，，这3个函数中，奇函数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，母线长为2，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

8．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ）

A． B．5 C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．在上的投影向量为

10．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）

A．  B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减

11．已知一个正八面体ABCEDF如图所示，，则（    ）

A．平面ADF  B．点D到平面AFCE的距离为1

C．异面直线AE与BF所成的角为45° D．四棱锥外接球的表面积为

12．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ）

A．南偏西45°方向  B．南偏西30°方向

C．北偏西30°方向  D．北偏西25°方向

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若直线与直线垂直，则________．

14．已知圆C：的半径为3，则________．

15．的最小值为________．

16．已知函数若从集合中随机选取一个元素m，则函数恰有7个零点的概率是________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

17．（10分）

已知△ABC的三个顶点为，，，D为BC的中点，AD所在的直线为l．

（1）求l的一般式方程；

（2）若直线经过点B，且，求在y轴上的截距．

18．（12分）

小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值；

（2）求通话时间在区间内的通话次数；

（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

19．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求A；

（2）若，求△ABC周长的取值范围．

20．（12分）

投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．

（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．

21．（12分）

已知大气压强p（帕）随高度h（米）的变化满足关系式，是海平面大气压强．

（1）世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为，求在海拔8000米处的大气压强（结果用和表示）．

（2）我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：

若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为，在第三级阶梯某处的压强为，，证明：．

22．（12分）

如图，在四棱锥中，，，，，平面ABCD，E，F分别为PD，BC的中点．

（1）证明：平面平面PCD．

（2）设PC与平面AEF交于点Q，作出点Q（说明作法），并求PQ的长．

2023年秋季高二年级入学检测卷

数学参考答案

1．A

因为，所以z的实部为13．

2．B

因为，，所以．

3．A

由图可知高三年级学生人数占总人数的36%，抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为．

4．B

将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．

5．D

因为，，这3个函数均为奇函数，所以奇函数的个数为3．

6．C

因为圆台的上底面和下底面的面积分别为，，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为，，所以该圆台的高为，故该圆台的体积．

7．A

若，的夹角为锐角，则且，不同向，可得且，故“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．

8．D

依题意可得，则，，故．

9．AC

，A正确．因为，所以，则，所以，B错误．因为，所以，C正确．在上的投影向量为，D错误．

10．BCD

因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确．当时，，所以的图象关于点对称．B正确．因为，所以C正确．当时，，单调递减．D正确．

11．ABD

将正八面体ABCEDF置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，由图可知，，因为平面ADF，平面ADF，所以平面ADF，A正确．连接BD（图略）．由图可知，点D到平面AFCE的距离为，B正确．

由图可知，，则直线AE与BF所成角即CF与BF所成角，因为△BCF为正三角形，所以，C错误．

四棱锥外接球的球心为正方形ABCD的中心，所以外接球的半径为1，故四棱锥外接球的表面积为，D正确．

12．BCD

如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，设轮船航线所在直线的方程为，即，

由，得或．因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向．

13．-12

因为直线与直线垂直，所以，解得．

14．-4

将圆C的方程转化为，因为圆C的半径为3，所以，即．

15．1

，当且仅当，

即时，等号成立，所以，故的最小值为1．

16．

由，得，0，4，当时，的最小值为-4．

由，得，0，4，即，m，，因为，

所以．而，当时，方程，，的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程，，的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．

17．解：（1）由题意得，……1分

则l的方程为，……3分

即．……5分

（2）设的方程为，……6分

将代入，得，即，……8分

所以在y轴上的截距为3．……10分

18．解：（1）由，……2分

得．……4分

（2）因为通话时间在区间内的频率为，……6分

所以通话时间在区间内的通话次数为．……8分

（3）这100次通话的平均时间的估计值为分钟．……12分

19．解：（1）因为，所以．……1分

又，……3分

所以．……4分

因为，所以．……5分

又，所以．……6分

（2）由（1）可知，，所以．……7分

由，得，则，……8分

则．……9分

因为，所以，，……10分

则，故△ABC周长的取值范围为．……12分

20．解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，

则，．……1分

（1）设只有一人投中为事件E，则

……3分

．……6分

（2）若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．……8分

设丁获胜为事件M，则．……12分

21．（1）解：设在海拔8000米处的大气压强为，

……2分

所以，解得．……5分

（2）证明：设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，

则……6分

两式相减可得．……8分

因为，，所以，……9分

则，……10分

即，……11分

故．……12分

22．（1）证明：因为，E为PD的中点，所以．……1分

又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，……2分

因为，，所以，，……3分

所以平面PAD，则，……4分

又，所以平面PCD．……5分

因为平面AEF，所以平面平面PCD．……6分

（2）解：如图所示，延长AF与CD并交于点M，连接EM，则EM与PC的交点即点Q．……7分

……9分

过E作交PC于T，因为，所以，根据相似可得，则，过Q作交CD于R，根据相似可得，……10分

因为，所以．……12分