广西部分学校2024-2025学年高二上学期入学检测数学试题

这是一份广西部分学校2024-2025学年高二上学期入学检测数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在中，角的对边分别为，若，则，若，则，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册，选择性必修第一册第一章1.1—1.2.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知的三个顶点分别为，且，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
5.把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
6.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
7.若，则（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
8.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是（ ）
A.三棱锥和四棱柱 B.四棱锥和三棱柱
C.四棱锥和四棱柱 D.五棱锥和三棱柱
10.已知复数，则（ ）
A. B.
C.的虚部为3 D.
11.对于直线与圆，下列说法不正确的是
A.过定点
B.的半径为9
C.与可能相切
D.被截得的弦长最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数为纯虚数，则实数__________.
13.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为__________.
14.在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16.（15分）
已知圆经过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断圆C：与圆的位置关系.
17.（15分）
在棱长为2的正方体中，为的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积.
18.（15分）
在中，角的对边分别是，已知.
（1）证明：.
（2）若的面积为1，求.
19.（17分）
如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线.
（1）求圆台的表面积与体积；
（2）若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值.
2024年秋季学期高二入学检测卷
数学参考答案
1.A 因为，所以其对应的点位于第一象限.
2.D 因为，所以，解得.
3.D 由正弦定理，得.
4.A 因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
5.C 由题意得，则，得，所以的值可能为.
6.B 因为，所以，由余弦定理可得，即，故.
7.B 由题意得，则.
8.C 如图所示，取的中点，分别记为，，连接.
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点为该正六边形的中心，且平面，当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.
设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥的底面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积.
9.AD 三棱锥和四棱柱､五棱锥和三棱柱的顶点数之和均为12，四棱锥和三棱柱的顶点数之和为11，四棱锥和四棱柱的顶点数之和为13.
10.BCD 因为，所以，
的虚部为.
11.BC 可变形为，由得所以直线过定点，故A正确.圆的标准方程为，半径为3，故B不正确.因为点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故C不正确.当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.因为点和圆心连线的斜率为，所以，解得，此时的方程为.因为圆心到直线的距离，所以弦长为，故D正确.
12.1 由得.
13. 因为与的夹角为，所以，故在方向上的投影向量为.
14. 如图，因为且底面为菱形，所以为等边三角形.
过点作底面的垂线，与底面交于点，作分别垂直于.
因为，所以.又，
所以平面，则，即，
.故四棱锥的体积为.
15.解：（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
16.解：（1）设圆的方程为，
则解得
故圆的方程为，标准方程为.
（2）圆的圆心为，半径为4.
圆的圆心为，半径为3.
设两圆圆心的距离为，则.
因为，所以圆与圆相交.
17.解：（1）连接，则.
连接，记，则为的中点.
连接，取的中点，连接，则是的中位线，
所以，所以为所求的角.
连接，在中，，
所以，故异面直线
与所成角的余弦值为.
（2）法一：因为平面，所以
因为正方体的棱长为2，所以，所以.
法二：因为，
，
且，所以.
18.（1）证明：因为，
所以，即.
根据，得，所以，
由正弦定理得，所以，从而.
（2）解：由（1）可得.
因为的面积为1，
所以，解得.
又，所以由余弦定理得.
19.解：（1）因为圆台上底面半径，下底面半径，母线，
所以圆台上底面面积，下底面面积.
因为圆台的侧面积
所以圆台的表面积.
在等腰梯形中，，所以梯形的高为，即圆台的高，
所以圆台的体积.
（2）记为的中点，则为的中点.
当圆与圆内切时，圆的面积最大，此时圆锥的体积最大，要使球的体积最大，则球与圆台上底面､下底面､侧面和圆锥侧面都相切，
即四边形的内切圆半径为球的半径.
如图，易知四边形为边长为4的菱形，且.
因为，所以，
所以球体积的最大值为.