备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题04 等式与不等式性质（教师版）

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备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题04 等式与不等式性质、一元二次不等式
（核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质解决有关问题
3.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数
4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式:并能用集合和区间表示
5.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系



知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果，那么；
性质2 如果，，那么；
性质3 如果，那么；
性质4 如果，那么；
性质5 如果，，那么；

2. 作差法比较大小关系




3. 不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7可乘方性
性质8可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　

4. 二次函数的图象与性质




函数图象


开口方向
向上
向下
对称轴方程

最值


5. 一元二次方程求根公式及韦达定理

一元二次方程求根公式
的根为：
韦达定理（根与系数的关系）
的两根为，；则

6. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式




一元二次方程

的根
有两个不等实根
，（设）
有两个相等实根

无实数根
二次函数

的图象




的解集




的解集

∅
∅

ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．

7. 解分式不等式
① ②
③ ④
例题：






8. 解单绝对值不等式
或

的解集为：


考点一、由不等式性质判断式子大小关系

1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.
故选：B
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.


1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）若，则下列结论中不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意先求出，根据它们的关系分别用作差法判断和选项，利用不等式的性质判断选项，由几何意义判断选项．
【详解】解：，，
、，，则，故对；
、，则，故对；
、，，故对；
、，成立，故不对．
故选：．
3．（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
4．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.
【详解】对A，因为，又，故，则，故A正确；
对B，取，因为，故B错误；
对C，因为，由题意，，，故，即，故C正确；
对D，取，则，则，故D错误；
故选：AC

考点二、由不等式范围求解不等式范围

1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.


1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的取值范围是？
【答案】
【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，则，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以，
即.
故的取值范围为.

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

1．（2023·全国·高三专题练习）比较与的大小．
【答案】<
【分析】做差比较大小即可.
【详解】,
<.


1．（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，试比较与的值的大小.
【答案】若，则；若，则；若，.
【分析】利用作差法，结合分类讨论，比较与的大小即可.
【详解】由,
当时，，所以，即；
当时，，所以， 即；
当时，，所以，即.

考点四、由不等式性质证明不等式

1．（2023·全国·高三专题练习）已知，求证.
【答案】证明见解析.
【分析】由于所证不等式的左边是两分式和的形式，宜采用作差比较法再对差式通分、变形，由于分母是因式积的形式，故重点在对分子的变形，尽量化为因式积成平方式和，便于运用条件加以讨论.
【详解】证明：
.
由，可知，，从而，
又，，又，
因此上式分子、分母均小于零，
，即.


1．（2023·全国·高三专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”
【答案】证明见解析
【分析】由作差法证明，再由证明.
【详解】证明：取，
因为，所以，即.
所以
又因为，故，
所以.

考点五、解不含参的一元二次不等式及分式不等式

1．（2023·全国·高三专题练习）求下列不等式的解集：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据“三个二次”之间的关系来解不等式即可；
（2）可以分类讨论或者转化为整式不等式.
【详解】（1）因为，
所以方程有两个不相等的实根，.
又二次函数的图象开口向下，
所以原不等式的解集为.
（2）方法一:等价于①或 ②
解①得,解②得,
所以原不等式的解集为.
方法二:不等式⇔
所以由二次不等式知所以.
所以原不等式的解集为.


1．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2).
(3)
(4)

【分析】运用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可.
【详解】（1），即，配方可得，解得
（2），即，解得；
（3），即，而，从而不等式无解，即解集为；
（4）且同时成立.
由解得，
由，即，解得.
于是
2．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
【答案】或
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解
【详解】
，
解得或，
所以不等式的解集为或，

考点六、解含参的一元二次不等式

1．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】对不等式变形为，然后对进行合理分类讨论即可.
【详解】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，
所以当时，解得；
当时，解集为；
当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，
解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.

1．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据判别式分类讨论或、和三种情况，即可求出一元二次不等式的解集.
【详解】由题意知，
①当，即或时，
方程的两根为，
所以解集为；
②若，即时，
当时，原不等式可化为，
即，所以，
当时，原不等式可化为，
即，所以；
③当，
即时，原不等式的解集为；
综上，当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程： 且

解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：

当时，原不等式的解集为：

综上所述, 当时，原不等式的解集为：

当时，原不等式的解集为：



考点七、一元二次不等式在对应区间的恒成立和有解问题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
【答案】
【分析】由不等式对于恒成立，转化为当时，恒成立，则满足，求解对应不等式组即可得出答案.
【详解】由题知，
设，
当时，恒成立.
当且仅当，即，
解得且，
或且，
则.
所以的取值范围是.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)令，求出在上的最小值即可；
(2)令，求出在上的最大值即可.
【详解】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.


1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】．
【分析】令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意利用二次函数的性质可得，由此求得求得的范围；（2）由于对于任意，，恒成立，故．利用二次函数的性质，分类讨论求得的范围；（3）问题等价于，再由、都大于零，求得的范围．
【详解】（1）若对于任意,恒成立，
则有，解得；
（2）由于对于任意，恒成立，故．
又函数的图象的对称轴方程为，
当时，，求得无解；
当时，，求得；
当时，，求得．
综上可得，的范围为；
（3）若对于任意，恒成立，等价于，
∴，求得，即的范围为．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，对于二次不等式恒成立，要结合二次函数的图象和性质，对于在某区间上恒成立的二次不等式，要注意讨论函数的对称轴与区间的关系，对于第（3）小题，要注意分清自变量是,从而转化为线型函数在区间内大于零的问题．

考点八、多选题综合

1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】AB
【分析】令函数，结合二次函数的图象性质，列出不等式组，求解判断作答.
【详解】函数的图象开口向上，其对称轴为，
因为的解集中有且仅有2个整数，因此，其它的整数都不属于集合，
由对称性得：，即，解得，显然选项AB满足，CD不满足.
故选：AB
2．（2023·全国·模拟预测）已知实数，则下列不等式正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，D，，满足，此时，，故A，D错误.（判断一个结论错误时，举反例即可）
对于B，，，得，故B正确.
对于C，由得，又，所以，故C正确.
故选：BC


1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【详解】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
2．（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解.
【详解】当时，由可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，此时不存在；
当时，由对任意恒成立，
可设，，作出的图象如下，

由题意可知，再由，是整数可得或或
所以的可能取值为或或
故选：BCD



【基础过关】
1．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．或，
【答案】C
【分析】根据分式不等式即可求解.
【详解】不等式等价于，等价于，解集为．
故选：C
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.
故选：B
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，
则，所以m的取值范围是.
故选：C
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
5．（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
6．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可.
【详解】因为，为真命题，则或，解得，
对于A，Ü，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C，Ü，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D，Ü，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
7．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案.
【详解】因为，成立，则，即.
所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.
故选：A.

二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.
【详解】由题意，

∴，故A错误，
，故B正确，
，当时，，故C错误，
，
∴，故D正确，
故选：BD.
9．（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
10．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.
【详解】因为，所以有，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．

【能力提升】
1．（2023·海南海口·海南中学校考二模）设，则“且”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.
【详解】由且，可得,
当，时，满足，但不满足且,
则“且”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
2．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知，则是的（    ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，由不等式的性质，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由，即，可得，或，或，
当时，可得，所以，即；
当时，可得，，所以，即；
当时，可得，，所以，所以；
故是的充分条件.
由，即，可得或，或，
当时，，即，所以，所以；
当时，，即，显然成立，此时；
当时，，即，所以，所以，即；
故是的必要条件.
所以是的充分必要条件.
故选:C
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．

二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据不等式的基本性质，可判定A、B正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C错误，D正确.
【详解】由，，根据不等式的性质，可得，所以A是正确的；
由，，可得，
则，可得，所以B正确；
取，，则，从而，所以C错误；
由幂函数，在上是增函数，
则由，即得，则D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
6．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.
【详解】对A，因为，又，故，则，故A正确；
对B，取，因为，故B错误；
对C，因为，由题意，，，故，即，故C正确；
对D，取，则，则，故D错误；
故选：AC
7．（2023·河北衡水·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】由，得，当时，得0，即;
当时，得，即，综上或，上述两种情况均可得，故选项错误;
当时，得，当时，得，故B选项正确;
令，则，，从而得，故C选项错误;
由上述论证可知恒成立，故D正确.
故选：BD.