特训02 期中解答题压轴题-2022-2023学年七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训02 期中解答题压轴题

一、解答题

1．请利用绝对值的性质，解决下面问题：

(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝______；当b＜0时，则＝______．

(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．

(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．

2．观察下列解题过程：

计算：的值

解：设①，

则②，

由②－①，得.即原式

通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：

3．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作．即．例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．

（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．

①______；

②比较，，的大小______（用“<”连接）；

（2）数轴上的点M满足，求；

（3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．

4．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：

（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　   　；

（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　   　．

（3）应用上述公式计算：

①2+4+6+…+100

②1002+1004+1006+…+1100

③1+3+5+7+…+99

5．阅读解题：，，，…

计算：理解以上方法的真正含义，计算：

（1）

（2）

（3）

6．请观察下列算式，找出规律并填空．

，，，．

则第10个算式是________，第个算式是________．

根据以上规律解读以下两题：

（1）求的值；

（2）若有理数，满足，试求：的值．

7．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5③ ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8）④ ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把  记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

（1）直接写出计算结果： （-6）④ ＝____________；

（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：

（-）ⓝ＝____________（-）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数）

（3） [实践应用]

计算

 ①

② （其中n=2022）

8．请观察下列算式，找出规律并解决问题

=1-， =-， =-，  =-

则第10个算式是        =        ；

根据以上规律解答下题：

若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求：+++ …… +的值.

9．信息1：点A、B在数轴上表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=；

信息2：数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

结合上面的信息回答下列问题：

已知数轴上点A、B两点对应的有理数a，b，且a，b满足

(1)填空：a=     ， b=      ，A，B之间的距离为       ；

(2)数轴上的动点C对应的有理数为c．

①式子最小值是         ，此时c的取值范围是        ；

②当时，则c=        ；

③式子有最小值为9，则有理数d=     ；

④式子的最小值为       ．

10．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．

①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；

②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；

③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度．

前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）

(1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置．

(2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？

(3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值．

11．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；

即数轴上数x1，x2对应两点之间的距离为|x1﹣x2|

在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：

例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；

例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；

例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|>2的解为x<﹣1或x>3；

例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在I的右边，如图可以看出x=2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 　   　；

(2)方程|x﹣3|＝4的解为 　   　；|x+4|＝7的解为 　   　；

(3)不等式|x﹣3|＞4的解集为 　   　；

(4)方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 　   　；

(5)不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 　   　．

12．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．

(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：

(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；

(3)若点D是的中点．

①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；

②若，试求线段的长．

13．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．

问题提出：

(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．

(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）

①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；

②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．

(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．

14．阅读下列两则材料：

材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．

材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．

根据以上材料，回答下列问题：

(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．

(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　   　．

(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．

15．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．

（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．

（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．

（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．

（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）

16．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层.

(1)图①中共有___________个圆圈：

(2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________.

(3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和.

17．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

(1)填空：

①A、B两点间的距离AB＝_______，线段AB的中点C表示的数为_______；

②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______；

(2)求当t为何值时，；

(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

18．若一个四位数正整数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“笃学数”，记为，“笃学数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“图新数”，记为，例如：3412的“笃学数”为，3412的“图新数”，

(1)写______；______；

(2)若一个千位为4，十位为6的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被33整除，求该四位数．

19．有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．

(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．

(2)若三位自然数 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．

20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．

(1)2022属于_______类（A，B或C）；

(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；

②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；

(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．

①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④属于A类．

21．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．

其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：

步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；

步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；

步骤3：计算与的和，即；

步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；

步骤5：计算与的差就是校验码，即．

请解答下列问题：

（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．

（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．

（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．

22．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）

（1）求a的值；

（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；

（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：

已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？

23．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.

（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；

（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;

（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）

24．数学中有很多可逆的推理，例如：

(1)若输入7时，输出___________.

(2)拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则；，则.

①根据定义，填空：___________；___________.

②若有如下运算性质 ：，根据运算性质填空，填空：若，则___________；___________.

③表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.