2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若满足，且为纯虚数，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算得出，结合纯虚数的定义即可得出答案.

【详解】

∴

故选：D．

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及纯虚数的定义，属于基础题.

2．设点M的直角坐标是，则它的柱坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据柱坐标与直角坐标的对应关系列方程求出.

【详解】设M的柱坐标，则，

因为且，解得：.

所以M的柱坐标.

故选：C

3．若椭圆的参数方程为（为参数），则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆的参数方程，消去参数可得其普通方程为，从而求出a，c，利用离心率公式即可求得结果.

【详解】由椭圆的参数方程，消去参数可得其普通方程为，

，，则该椭圆的离心率.

所以本题答案为A.

【点睛】本题考查参数方程化为普通方程的方法和利用a，c求解椭圆的离心率，属于基础题.

4．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于时”，应假设

A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于

C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于

【答案】A

【分析】对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.

【详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于”，即反证法时应假设：四个内角都大于

本题正确选项：

【点睛】本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题.

5．有一散点图如图所示，在5个数据 中去掉后，下列说法正确的是（    ）

A．相关系数r变小 B．残差平方和变小

C．变量x，y负相关 D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱

【答案】B

【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A, 去掉后，相关性变强，相关系数r变大，

对于B,残差平方和变小，故B正确，

对于C，散点的分布是从左下到右上，故变量x，y正相关，故C错误，

对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，故D错误，

故选：B

6．一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小.

A．总偏差平方和 B．残差平方和

C．回归平方和 D．竖直距离和

【答案】B

【分析】使用最小二乘法的定义进行求解.

【详解】最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和最小，B正确；其他选项错误.

故选：B

7．[x]表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．6 B．9 C．10 D．13

【答案】C

【分析】根据程序框图依次求解即可.

【详解】第一次：，，则，

第二次：，，则，

第三次：，，则，

第四次：，，则，

第五次：，，则输出，

故选：C

8．直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ）

A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比

B．可以用表示直线上的任意一点

C．当且时，为外分点

D．当时，点与点重合

【答案】B

【分析】A选项，由已知只需证明即可；

B选项，由进行判断；

CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断.

【详解】A选项，由，可知，

，，

时，，

此时，A选项正确；

B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误；

C选项，由于，当且时，，

不妨设，故，，为外分点，C选项正确；

D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确.

故选：B

9．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别计算出取出的两个粽子为同一种馅，以及取到的2个都是豆沙馅的基本事件个数，然后由条件概率公式计算即可.

【详解】由已知，有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，

则，

所以

故选：A

【点睛】本题考查条件概率的计算公式，以及古典概率的计算方法，属于基础题.

10．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数的判断和零点的定义即可判断.

【详解】由题知，输出的函数是奇函数，并且有零点，

对于，，A错；

对于，，

令，无解，故B错；

对于，不是奇函数，C错；

对于，，

且令，解得，D正确.

故选：D

11．某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型.

【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.

A中，是直线型，均匀增长，不符合要求；

B中，是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；

C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；

D中，是对数型，增长缓慢，符合要求.

故对数型最适宜该回归模型.

故选：D.

12．直线（t为参数），截抛物线所得的弦长为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先将直线的参数方程化为一般方程，将直线与抛物线方程联立，利用弦长公式求出弦长.

【详解】由 得出直线方程 ，假设两交点为 由

得 ，所以 ，所以弦长为 故选B.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交得到的弦长问题，一般将它们的方程联立，利用弦长公式来解决.

二、填空题

13．若线性回归方程中的回归系数，则相关系数＝      .

【答案】0

【分析】根据回归系数与相关系数两者计算公式之间的联系求解.

【详解】，且，

故答案为：0.

14．已知直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角为          .

【答案】

【分析】将已知的参数方程变形化为标准形式，从而可求出直线的倾斜角.

【详解】由（为参数），得

（为参数），

即（为参数），

所以直线的倾斜角为，

故答案为：

15．由下列事实：

，

，

，

.

……

可得到第个等式合理的猜想是  .

【答案】

【分析】根据所给等式的特征归纳总结写出第个等式即可.

【详解】根据所给信息知：各等式的左边两因式中，一项为，另一项每一项的次数均为，而且按照字母的降幂排列，

所以，第个等式为.

故答案为：.

16．曲线（为参数）的普通方程为          .

【答案】（除点）

【分析】观察式子结构，消去参数即可.

【详解】由题意，，但，，于是普通方程不能表示.

故答案为：（除点）

三、解答题

17．已知z为复数，和均为实数，其中i为虚数单位，

（1）求复数z和；

（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）设带入和均为实数，即可得解；

（2）由（1）知，带入，再由复平面中的点在第三象限，即可得解.

【详解】（1）设，由为实数，

则，所以，

为实数，

则，，

所以，，

（2）在第三象限，

所以 ，所以，

所以m的取值范围为.

18．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

(1)若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人恰有一人打算购买冰墩墩的概率；

(2)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

附：，其中.

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有

【分析】（1）根据题意得到年龄在之间抽取的人数为人，记为，利用列举法的基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）由题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.

【详解】（1）解：由题意，可得年龄在之间抽取的人数为人，记为（其中4，5表示有意向购买冰墩墩的人）

从5人中抽取2人的基本事件有，

共10个基本事件，

其中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有，共6个，

所以所求概率.

（2）解：由题意，可得的列联表：

所以，

所以有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关.

19．某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该院派出研究小组分别到气象局与某医院，抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见表：

该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是相邻的两个月的概率；

（2）已知选取的是1月与6月的两组数据．

（i）请根据2到5月份的数据，求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程：

（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是否理想？

（参考公式）

【答案】（1）（2）（i）y（ii）该小组所得线性回归方程是理想的．

【分析】（1）运用列举法与古典概型公式求解；

（2）（i）求出，代入公式求得，即可得线性回归方程；（ii）借助与回归方程分析探究即可.

【详解】（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，

因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，

，每种情况都是等可能出现的，

其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种，

所以，

（2），，

，

，

得到y关于x的回归直线方程为y.

（2）当x＝10时，y，，

同样，当x＝6时，y，，

估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，

∴该小组所得线性回归方程是理想的．

【点睛】本题主要考查的是古典概型和古典概型的概率公式以及统计案例，以及线性回归方程的求法，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力，是基础题.

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，）.

(1)在平面直角坐标系中，画出曲线的图象；

(2)过定点，斜率的直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)或

【分析】（1）直接消去参数后化为普通方程，从而可画出其图象；

（2）结合图象求解即可.

【详解】（1）曲线的普通方程为，

图象为：

（2）过定点，斜率的直线与曲线只有一个公共点，

当直线过点时恰有两个公共点，此时，

当直线与圆相切时，

恰有一个公共点，此时，

所以或.

21．（1）用分析法证明：（当且仅当时等号成立）；

（2）设为曼哈顿扩张距离，其中为正整数.如.若对一切实数恒成立.设，且，求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用分析法的步骤，逐步化简可得，从而可得结论；

（2）由可得，即，再利用（1）可得答案.

【详解】（1）要证明成立

只需证明

化简得

即要证

上式显然成立，当且仅当时等号成立.

（2）对一切实数恒成立

，

时等号成立，

即

由（1）

又

22．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆与极轴交于点A，点为圆上异于坐标原点的动点．

(1)写出点A的极坐标及圆的参数方程；

(2)求的最大值．

【答案】(1)，（为参数）

(2)18

【分析】（1）由，得到，再由求解.

（2）先得到的坐标，再利用数量积运算求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

∴，

∴，

令，得，

∴或0（舍），

∴，

圆的参数方程为（为参数）．

（2）∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

（其中，），

∴的最大值为18．