2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.

【详解】集合，，所以集合．

故选：D.

2．已知，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】由复数相等的充要条件可得的值.

【详解】因为，所以，

由复数相等的充要条件得，所以.

故选：C.

3．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为，求出的值，可得出，代值计算即可得解.

【详解】设等比数列的公比为，则，所以，.

故选：D.

4．如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y（单位：万人）与时间x（单位：天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由选项的图象特征即可得到答案.

【详解】选项A，对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，故A错误；

选项B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，

则的图象可以如图所示，故B正确；

选项C，对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故C错误；

选项D，对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故D错误.

故选：B.

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.

【详解】由，

得，

所以为偶函数，故排除BD.

当时，，排除A.

故选：C.

6．已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【分析】点代入抛物线方程，得，再利用等于点到准线距离求值.

【详解】依题意得 ，因为，所以.

由，解得.

故选：D

7．已知命题：关于的不等式的解集为，则命题的充要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式恒成立得即可.

【详解】关于的不等式的解集为，，

故命题的充要条件是，

故选：B

8．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】按照程序框图运行，当时，结束循环，输出.

【详解】输入，第一次循环：，，；

第二次循环：，，；

第三次循环：，，；

第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.

故选：B.

9．设，为两条直线，，为两个平面，且，则（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若， ，则

【答案】C

【分析】对于选项A、B、D，可以举反例进行排除；对于选项C，可以结合直二面角的定义即可判断.

【详解】对于A，如图，若，，且，则可以，故A错误；

对于B，如图，若，，且，则可以，故B错误；

对于C，如图，且，，举例，

则有，，在平面内作，交于点，则，，

则，同理在平面内，过点作，则，，则，，则其形成的二面角为直二面角，

再根据直二面角定义可知直线与所成的角为直角，则直线与所成的角也为直角，则，

同理当或者或者均可利用上述类似方法，再结合直二面角定义得到.

故C正确；

对于D，若，，且，则可以，故D错误；

 故选：C.

10．已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得等差数列是递减数列，可得，，结合等差数前和公式即可判断.

【详解】设的公差为，由题设条件可知，且则，

因此，，

而符号不确定．

故选：C．

11．现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为，则（    ）

A． B． C． D．以上三种情况都有可能

【答案】A

【分析】根据概率公式求出和，即可求得答案.

【详解】6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回

实验的情况的总数为：

当先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数

情况的总数为：

，

6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回

实验的情况的总数为：

当先后从中取出两张. 若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数

情况的总数为：

，

.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了根据组合数求概率问题，解题关键是掌握组合数的计算方法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

12．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，变形得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，利用导数求得函数的单调递增区间，由此可求得实数的最大值.

【详解】对，且，都有，

可得，即，两边同除得

，

构造函数，则函数在区间上单调递增，

，令，即，解得，

即函数的单调递增区间为，

，则，因此，实数的最大值为.

故选：C.

二、填空题

13．已知向量与满足，则         .

【答案】

【分析】由平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】因为向量与满足，

所以，所以，

故答案为：.

14．若则的值为         .

【答案】0

【分析】根据分段函数的对应法则，即可得到结果.

【详解】∵，

∴

∴，

故答案为：0.

15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为          .

【答案】

【分析】如图，取的中点为，连接，可证为三棱锥外接球的球心，故可求外接球的表面积.

【详解】

如图，取的中点为，连接，

因为平面BCD，平面，故，，

因为的中点为，故，

而，，平面，故平面，

而平面，故，

故，所以为三棱锥外接球的球心，

又，故，所以，

故三棱锥外接球半径为，故其外接球的表面积为.

故答案为：.

16．已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是         .

【答案】/

【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方程，则得到离心率.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，

则.

由双曲线的定义可得，

则，

因为，所以，

则周长的最小值为，结合，

整理得，即，解得（负舍）.

故答案为：.

三、解答题

17．为了解某地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了400名学生进行调查，统计数据如表所示.

(1)中学生包括初中生和高中生，根据所给数据，完成下面的列联表.

(2)根据（1）中的列联表，判断是否有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关.

附：，.

【答案】(1)列联表见解析

(2)没有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关.

【分析】（1）结合已知数据填写列联表；

（2）计算，比较其与临界值大小，由此确定结论.

【详解】（1）由所给数据，可得列联表为

（2）根据列联表中的数据可得

，

所以没有的把握认为该地区的学生是否近视与学生的年级有关.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)在①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

若，，点D是BC边上的一点，且_________.求线段AD的长

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；

（2）选①：根据等面积法求解即可；选②：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选③：根据，结合面积公式可得.

【详解】（1）在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且

，可得，

 由余弦定理可得

，.

（2）选①：AD是的高，

由余弦定理得，

所以

由的面积得，

；

选②：是的中线，

，

，

，，，

，

；

选③：AD是的角平分线.

由于，

所以，

解得

19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且.

(1)求证：平面；

(2)求几何体ABCDPQ的体积.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由平面ABCD，，可得平面ABCD，进而得到，结合，进而得证；

（2）连接，将几何体ABCDPQ分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式即可.

【详解】（1）∵平面ABCD，，∴平面ABCD．

∵平面ABCD，∴．

在正方形ABCD中，，

又，AB，平面QAB，∴平面QAB．

（2）连接，平面，平面，，

又，，平面，平面，

则，

，

则.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）当时，，求导得，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程．

（2）若有两个不同的零点，则函数与有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性，通过图像数形结合即可得出答案．

【详解】（1）当时，，，

，又，

所以在处的切线方程为，即．.

（2），函数定义域为，

有两个不同的零点，所以函数与有两个不同的交点，

令，，，

所以在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以时，取得极小值，

时，；时，，函数图像如图所示，

所以，

所以的取值范围为．

【点睛】方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理,利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

21．设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得，，即可得到椭圆方程；

（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值.

【详解】（1）易知双曲线的离心率为，

所以在椭圆中，，得，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）不妨设，，

联立方程组得，

由得，

由韦达定理知，

所以

，

将代入椭圆方程得，，解得，

又到直线AB的距离为，

所以

，

当且仅当，即时取等号.

所以的面积取最大值时的直线方程为或.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，设直线与曲线C交于M，N两点，求的值

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可得到曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，利用韦达定理即得．

【详解】（1）曲线C的极坐标方程为，

整理得：，

所以，即.

（2）把直线的参数方程（t为参数）

代入圆的直角坐标方程得到：，

设M、N对应的参数为、，则，

所以．

23．已知函数．

(1)若，解不等式；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，和三种情况讨论求解即可；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后将问题转化为，再解不等式可求得结果.

【详解】（1）若，可知，

当时，不等式转化为，

解得，

当时，不等式转化为，不等式恒成立，

当时，不等式转化为，

解得，

综上，不等式的解集为；

（2）若，则，

因为，

当且仅当时，等号成立，

故，

即或，

解得或，

则a的取值范围为．