2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期中模拟数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期中模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知，则z的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再结合复数相等列式求解作答.

【详解】设，则，因为，即有，

整理得，解得，

所以z的虚部为2．

故选：C

2．反证法证明命题“若a∈R，则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”时，正确的反设是（    ）

A．若a∈R，则函数y=x3+ax+b没有零点

B．若a∈R，则函数y=x3+ax+b至多有一个零点

C．若a∈R，则函数y=x3+ax+b至多有两个零点

D．若a∈R，则函数y=x3+ax+b恰好有一个零点

【答案】A

【分析】根据反证法的概念可直接判断.

【详解】根据反证法的概念即可写出若a∈R，则函数y=x3+ax+b没有零点，

故选：A.

3．已知函数的导函数为的图象如图所示，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】直接根据导数的几何意义得到答案.

【详解】分别表示在时，对应切线的斜率，

根据图象知.

故选：A

4．若是奇函数，则（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据积分的几何意义，即可得到答案.

【详解】∵是奇函数，∴图象关于原点对称，

∴根据积分的几何意义得：.

故选：A.

【点睛】本题考查积分的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

5．下列计算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据求导法则逐个分析判断即可

【详解】对于A，，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：A

6．用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ）

A．当时，成立

B．当时，成立

C．当时，成立

D．当时，成立

【答案】C

【分析】根据，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解.

【详解】根据题意，证明的结论为“”，

所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立.

故选：C.

7．若函数的导函数图象如图所示，则（    ）

A．是函数的极小值点

B．是函数的极小值点

C．函数的单调递减区间为

D．的解集为

【答案】A

【分析】根据导数与单调性的关系，可得答案.

【详解】对于A，由图可知，当时，；当时，.

所以为函数的极小值点，故A正确；

对于B，有图可知，当时，，

所以不是的极值点，故B错误；

对于C，由图可知，当时，，当且仅当，，

所以在上单调递增，故C错误；

对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误.

故选：A.

8．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．和

【答案】C

【分析】求出导函数，令即可得解.

【详解】，

令，得，

所以函数的单调递减区间是.

故选：C.

9．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

10．函数在点（    ）处取得最小值.

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得，利用导数求得函数的单调区间和极值，结合，确定出函数的最小值，进而得到答案.

【详解】因为，

所以，

因为，可得，

令，即，可得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在处函数取得极小值，，

又由，所以在点处取得最小值.

故选：A.

11．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】，其中，

当时，，故在上单调递减，

此时在内无最值，

当时，若，则，若，则，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在处取最大值，

综上所述，实数a的取值范围是.

故选：A.

12．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数判定其单调性，再结合对应的函数值，可得答案.

【详解】设，则，

令，解得，根据函数的单调性，

则当时，；当时，，

可得在上单调递增，在上单调递减.

而，，，

因为，所以.

故选：C.

二、填空题

13．已知，观察下列不等式：①，②③，…，则第个不等式为          .

【答案】

【详解】∵①，

②

③，

∴猜想第n个不等式为

14．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，（单位：）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为      .

【答案】

【分析】求导后，代入即可得到结果.

【详解】，，

即小球在时的瞬时速度为.

故答案为：.

15．设是虚数单位，复数z的共轭复数为，下列关于复数的命题正确的有     

①，②若z是非零复数，，则，

③若，则，④若复数z为纯虚数，则为实数

【答案】①④

【分析】对于①，通过计算复数的模判断，对于②，由题意可得，然后代入计算判断，对于③，举例判断，对于④，由题意可得，然后计算进行判断.

【详解】设，则，

对于①，，所以①正确，

对于②，由，得，所以，

因为z是非零复数，所以,，所以②错误，

对于③，若，则，所以③错误，

对于④，若复数z为纯虚数，则，所以为实数，所以④正确，

故答案为：①④

16．如图,在平面直角坐标系xoy中,将直线y与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V圆锥π（）2dx据此类比：将曲线y＝x2（x≥0）与直线y＝2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V＝     ．

【答案】

【分析】利用类比推理,结合已知的原理可以求出旋转体的体积.

【详解】根据类比推理得体积Vπydy，

【点睛】本题考查了类比推理,考查了定积分的几何意义以及计算,考查了数学运算能力.

三、解答题

17．已知复数，i是虚数单位），是实数.

(1)求b的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；

（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.

【详解】（1）∵，∴

∵是实数，∴，解得.

（2）由（1）知,

∴，

∵复数在复平面内对应的点在第二象限，

∴，解得，

故实数m的取值范围是.

18．（1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.我们将这一事实表示为不等式：当时，有，请证明这个不等式；

（2）设△ABC的三边长分别为，请利用第（1）问已证不等式证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据作差法比较大小即可；

（2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明.

【详解】（1）证明：.

.，

.

（2）设的三边长分别为，则有，

由（1）已证不等式可得：，，，

将以上不等式左右两边分别相加得：，

所以，

19．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为,无极大值.

【分析】（1）求导，进而得到，又，写出切线方程；

（2）由（1）知，令列表求解即可.

【详解】（1）

切点为，

切线的斜率为

所以曲线在点处的切线方程为

（2）令，解得，或

当时，函数取得极小值,无极大值.

20．已知函数(其中…为自然对数的底数)，为的一个极值点.

（1）求的值；

（2）证明：成立.

【答案】（1） ；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得，根据为的一个极值点，得到，即可求解；

（2）由（1）得到函数，令，利用导数求得函数单调性和小值，结合正弦函数的值域，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，可得，

因为为的一个极值点，可得，解得.

（2）由（1）知，函数，

由，令，，

因为，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，可得，

又由，且当时，，

所以，所以，即成立.

21．如图，在区间上给定曲线，左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积记为.

(1)当时，求的值；

(2)当时，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用定积分的几何意义，得到，进而求得答案；

（2）根据题意，由定积分的几何意义求出面积的表达式，利用导数求得的单调性与极值，进而取得面积的最小值.

【详解】（1）当时，可得，

根据定积分的几何意义，可得，

（2）根据题意，面积等于长、宽分别为t与的矩形面积减去曲线与x轴、直线所围成的面积，即，

面积等于曲线与x轴、直线所围成的面积减去矩形长、宽分别为与的矩形面积，即，

所以阴影部分的面积

令，解得，或，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以当时，取得极小值，也是最小值为.

22．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，

(2)

【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；

(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.

【详解】（1）当时，，

，

所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是

（2）由函数在上是减函数，知恒成立，

．

由恒成立可知恒成立，则，

设，则，

由，知，

函数在上递增，在上递减，

∴，∴．