2022-2023学年江西省乐安县第二中学高二下学期6月期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省乐安县第二中学高二下学期6月期末数学试题

一、单选题

1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

【答案】B

【分析】首先根据斜率公式求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；

【详解】解：因为，，所以，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以

故选：B

2．已知等比数列是递增数列，，则公比

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由得：，

又等比数列是递增数列，

∴，∴

故选D

3．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据解得：然后求得：，当时取最大值，且；

【详解】因为所以

因为，所以

所以当时取最大值，且；

故选：B

4．若数列的通项公式为，则其前项和为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由利用裂项相消法求和即可.

【详解】解：∵，

∴

故选：D

5．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.

【详解】当时，，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，

因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，

此时，函数在上无最小值，不合乎题意；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时，函数在上的极小值为，且，则，

综上所述，.

故选：A.

6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.

【详解】的定义域为，

在上单调递增，且，，

所以，．

的定义域为，由，

当时，，当时，，

故在处取得极大值，也是最大值，，

即．所以．

故选：A

7．已知椭圆，直线与的一个交点为，以为圆心的圆与轴相切，且被轴截得的弦长等于的焦距，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不妨设，故圆半径为，得到，解得答案.

【详解】当，解得，不妨设，故圆半径为，

根据题意：，即，故.

故选：.

【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8．不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．-1

【答案】A

【分析】由不等式对任意都成立可知，将实数分离开来，构造函数利用函数单调性求出的最小值即可求得结果.

【详解】由不等式，可得，

设，即使得的最小值满足条件即可，

又，

令，则，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

所以，即恒成立.

因此当时，；

当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，即实数的最大值为.

故选：.

二、多选题

9．已知直线，其中，则（    ）

A．直线l过定点

B．当时，直线l与直线垂直

C．若直线l与直线平行，则

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数

【答案】ABD

【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断.

【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；

对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，

而直线的斜率为，

所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；

对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；

对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确.

故选：ABD

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．函数既是奇函数又在定义域内单调递增

C．若函数，则对于任意的有

D．若，则

【答案】BCD

【分析】利用必要不充分条件的定义可判断A，利用函数单调性及奇偶性的概念可判断B，利用不等式的性质及基本不等式可判断C，利用指数函数单调性可判断D.

【详解】A选项，应为必要不充分条件；

B选项，函数定义域为R，，且函数单调递增，故B正确；

C选项，原不等式可化为，即，即，故正确；

D选项，原不等式可化为，因为，所以，所以，故正确.

故选：BCD．

11．已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（    ）

A． B．

C． D．是递增数列

【答案】ABC

【分析】对A，由题可得，利用累乘法可判断；对B，由题可得出，即可得出结论；对C，可得，即可判断；对D，举特例可说明.

【详解】是正项数列，则由可得，

，即，即，故A正确；

，， ，……，，

，

即，即，则，故B正确；

由可得，

则，

即，则，故C正确；

对D，若是正项等比数列，如公比为3，则，即是常数列，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题考查数列不等式的应用，解题的关键是正确利用已知条件进行转化.

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长半轴长为

【答案】AC

【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答.

【详解】对于A，由，得，则

，当三点共线时取等号，A正确；

对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误；

对于C，因为，且，于是，即，

解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确；

对于D，由，得为线段的中点，即，则，又，

即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

三、填空题

13．若圆与圆（）相内切，则         ．

【答案】1

【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.

【详解】解：圆的圆心为，半径为2；

圆的圆心为，半径为1．

所以两圆圆心间的距离为，

由两圆相内切得，解得：．

由于，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.

14．已知是数列的前项和，若，，.则          ．

【答案】

【分析】根据递推得到，判断数列是等比数列，由等比数列中公式求解即可.

【详解】，则，所以,,.当时，，,.

所以从第二项起，数列是公比为的等比数列，

.

【点睛】由求通项公式一定要注意检验的情况，本题中很容易错解认为数列是等比数列.

15．已知函数在处取得极值10，则a＝      ．

【答案】4

【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可求出.

【详解】由，得，

函数在处取得极值10，

（1），（1），

，

或，

当 时，，在处不存在极值；

当时，

，，，，，符合题意.

故答案为：4.

16．已知函数与有两个不同的交点，则实数的取值范围为       .

【答案】

【分析】利用导数可求得单调性，并确定在处的切线方程，根据恒过定点，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】的定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

，在处的切线方程为：；

恒过定点，

若与有两个不同交点，则与图象如下图所示，

由图象可知：当或时，与有两个不同交点；

即实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数，

（1）求在处的切线方程；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）；（2）1

【详解】分析：(1)先根据导数几何意义得切线的斜率为 ，再根据点斜式求切线方程，(2)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，根据单调性确定最小值取法.

详解：,

,

 (2),

,

,

,

点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

18．已知数列的前项和为，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求数列的项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）通过证明为常数，即可证明数列为等比数列.

（2）根据（1）求出数列的通项式，带入，利用错位相减法即可求出数列的项和.

【详解】解：（1）因为，①所以.②

当时，由①-②得，即，所以.

当时，，即，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知所以

所以，③

则，④

由③-④，得，

所以.

【点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及求数列前项和中的错位相减法，属于中档题.

19．近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表.

若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.

(1)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)表格见解析，没有

(2)2

【分析】（1）补全列联表，根据公式计算结合临界表值进行判断即可；

（2）由题意分析计算观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，随机变量然后结合二项分布的概率公式得分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为，

表格补充完整如下

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（2）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率

从A地区随机抽取3人，则，

X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，，

，，

所以的分布列为

所以．

20．已知为数列的前项和，，，.

（1）求证：为等差数列；

（2）若，问是否存在，对于任意，不等式成立.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在,或.

【分析】（1），可得，可得：，时，．时，，化为，进而证明结论．

（2）由（1）可得：，可得．通过作差：，可判断数列的单调性．

【详解】（1）证明：，

，

可得：，时，．

时，，

，可得．

为等差数列，公差为，首项为．

（2）解：由（1）可得：．

．

．

可知：．

可得时，；时，．

．

存在或，对于任意，不等式成立．

【点睛】本题考查了数列递推关系、作差法、数列的单调性、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值.

【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及，，的关系，解方程可得，，，进而得到椭圆方程；

（2）假设在轴上存在定点，使得得为定值．设，，，，直线方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得，令，解得即可得出．

【详解】解：（1）椭圆：的离心率为，

可得，，

点在椭圆上，可得，

解得，，

椭圆的标准方程为：；

（2）假设在轴上存在定点，使得为定值.

设，，

椭圆的右焦点为，设直线的方程为，

联立椭圆方程，化为，

则，，

.令，解得，可得，因此在轴上存在定点，使得为定值.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22．已知函数（）.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；

（2）若是函数的极值点，且，求证：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）求出切线方程，与对比系数即可；

（2），令，通过讨论知，且，从而，再由确定出的范围即可获证.

【详解】解：（1）由题意知，的定义域为，，

则，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，

所以，解得.

（2）由（1）得，，显然.

令，，

当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意；

当时，，所以在上单调递增

取b满足，则，，

所以.

又，所以存在，使得，此时.

又当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以为函数的极小值点，且.

令，则，所以在上单调递减，

又，，所以，∴ ；

令，则.

所以当时，单调递增，所以，所以，

所以.

【点睛】本题考查已知切线方程求参数值以及利用导数证明不等式，涉及到了不等式放缩，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.