2022-2023学年江西省上高中学高二下学期7月期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省上高中学高二下学期7月期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】，，所以，

故选:D

2．在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形，

所以

.

又由，所以.

故选：B.

3．已知直线l：xcosα＋ysinα＋m2＋n2＝0（α∈R，mn＞0），圆O：x2＋y2＝4m2n2，则直线l与圆O交点的个数为（    ）个

A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2

【答案】A

【分析】直接利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用重要不等式判断即可；

【详解】解：因为圆心到直线的距离

当且仅当时取等号，

所以直线与圆相切或相离，故直线与圆的交点为0或1个；

故选：A

4．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】B

【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.

【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，

且，故公差，

故，

故选：B.

5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，由此可得答案.

【详解】解：由得，所以，

因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，

故选：B

【点睛】此题考查双曲线和抛物线，考查双曲线的通径，属于基础题.

6．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.

【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有，

因此，，，

于是得，

则当时，，此时，点Q，

所以当取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

7．已知若为定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）

【答案】D

【分析】设，可得为偶函数，又时,，所以在上单调递增，在上单调递减，由，可得，即，由单调性可得出答案.

【详解】设，为定义在上的偶函数，则为偶函数.

当时，,,所以在上单调递增.

由为偶函数，则在上单调递减.

由，即

所以，由为偶函数，即

又在上单调递减，所以，解得：

故选：D

【点睛】本题考查构造函数，根据导数得出单调性，结合函数为偶函数解不等式，本题根据条件构造出函数是关键，属于中档题.

8．若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】临界条件即为直线恰为函数的公切线. 设的切点为，设的切点为，得到

，再求出方程小的零点为，方程另外一个零点一定大于,即得解.

【详解】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，

临界条件即为直线恰为函数的公切线.

设的切点为，.

设的切点为，,

所以.

由题得.

设，

所以，

所以函数在上单调递减，在单调递增.

又，

当时，，

所以方程另外一个零点一定大于.

所以方程小的零点为，

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的公切线问题，考查利用导数研究函数的单调区间和零点问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、多选题

9．已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性，导数几何意义，即可逐个选项判断.

【详解】因为为奇函数，为偶函数，

所以，，

所以关于对称，关于对称，

关于对称，

又，则关于对称，

所以是以为周期的函数，

令，则，得，A正确；

令，则，B错误；

因为，

所以，C正确；

因为，

所以，D错误.

故选：AC

10．已知斐波那契数列满足：，，，记的前项和为，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】依次求出的值可判断A，由可得，然后可得，同理可得，依此可判断BCD.

【详解】因为，，，

所以，

所以，故A正确，

因为，

所以，故B正确，

，故C错误，

因为，

，

所以，故D错误；

故选：AB

11．已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（    ）

A．

B．直线与抛物线相切

C．点的轨迹方程为

D．可以是直角

【答案】ABC

【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.

【详解】对于选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴，

所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确；

对于B选项，由题意知，为线段的中点，从而设，则，

直线的方程：，

与抛物线方程联立可得：，

由代入左式整理得：，所以，

所以直线与抛物线相切，故B正确；

对于C选项，设点，则点，

而是抛物线上任意一点，于是得，即，

所以点的轨迹方程为，故C正确；

对于D选项，因点的轨迹方程为，则设，

令，有，

，

于是得为锐角，故错误.

故选：ABC.

12．设，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定与，与，与，与大小关系.

【详解】解：，，，，

对于A，设，则，令，则恒成立，

所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，

则，即，所以，故A正确；

对于B，设，则，故在上单调递增，

则，整理得，所以，故B不正确；

对于D，设，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以有，即，所以，则，故D正确；

由前面可知，所以，故C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查构造函数结合导数比较指对幂大小问题，属于难题.解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较，大小，将转换得，可构造差函数，求解导数结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.

三、填空题

13．计算：（）0+     ．

【答案】

【分析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.

【详解】依题意，原式.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

14．已知函数f(x)=cosx，则          .

【答案】-1

【详解】分析：先求出导函数，然后将代入原式和导函数求值即可.

详解：由题可得：

故答案为-1.

点睛：考查导数的计算公式和三角特殊值，属于基础题.

15．函数的极值点是         .

【答案】0和2

【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可得函数的极值点.

【详解】解：由，对其求导可得：，

令，可得或，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

故可得函数有两个极值点：0和2，.

故答案为：0和2

【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值点，考查学生的计算能力，属于基础题.

16．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列是首项和公差均为1的等差数列.设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为           .

【答案】5

【分析】求出数列 的通项公式；构造函数，利用导数讨论函数的单调性，找到零点，进而找到最大值.

【详解】由题意知， ， , ，

恒成立，

当 时，

当 时，，

当 时，两边取对数可得，对有解，

即

令，则

当 时，，此时， 单调递减，

所以，当 时，

令，则

令，则

当 时，即，

所以， 在 上单调递减，

即当 时，，则，

化简，得

令，则，

由得，则，

所以， 在 上单调递减，

又因为，

所以，存在 ，使得

所以整数m的最大值为5，此时， .

故答案为：5

四、解答题

17．已知圆过点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；

（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可

【详解】（1）因为直线的斜率为，

所以线段的垂直平分线的斜率为1．

又易知线段的中点坐标为，

所以直线的方程为，即．

因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．

由，解得．

所以圆心为，半径．

所以圆的标准方程是．

（2）由（1），知圆的圆心坐标为，

将点向上平移1个单位长度后得到点，

故圆的圆心坐标为，半径为，

故圆的标准方程为．

18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）设交于点，连结.根据中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得证；

（2）建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得答案.

【详解】解：（1）设交于点，连结.因为底面是矩形，所以为中点.

又因为为中点，所以.因为平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点，连结，.因为底面为矩形，所以.

因为，为中点，所以，，所以.

又因为平面平面ABCD，平面平面平面.所以平面，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，，，

所以.令，则，，所以.

平面的法向量为，则.

如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

19．新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：

(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；

(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？

【答案】(1)

(2)①

【分析】(1) 根据条件概率事件求解即可；

(2) 分别分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案；

【详解】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，

则，求得.

（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.

若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，

且，

，

，

所以，，

若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且

，

，

所以，,

因为，所以小明应选择方案①.

20．已知数列满足：，且（且）；数列的前项和满足：.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)设，是否存在正整数，，使，，成等比数列？若存在，求出所有的正整数，；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，

(2)

(3)存在，，

【分析】（1）由已知可得，分别为等差、等比数列，求基本量即可.

（2）用错位相减法求和.

（3）由已知列出等式并分析出的取值，进而可得的范围.

【详解】（1）∵，

∴是等差数列，设其公差为，

则，即，

∴.

又当时，，∴，

当时，，即，

∴，

故是以为首项，为公比的等比数列，所以.

（2）由（1）知，，则，

∴，①

∴，②

则①②得：

，

∴.

（3）由（1）可知，

假设存在正整数，，使，，成等比数列，

即，即，

化简得：，

∴，解得

又且，∴或，

当时，解得，舍去；

当时，解得，符合.

综上：存在正整数，使，，成等比数列.

21．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，即可求解；

（2）分析出，直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得，令后可得，根据的范围即可求出的范围，进而可求其最大值.

【详解】（1）由题意可知，

所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，

则，所以，

因此动点的轨迹的方程是.

（2）如图：

不妨设点在轴上方，连接，

因为分别为有中点，所以，

所以，

当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，

此时；

当直线的斜率存在时，设其方程为，

设，，显然直线不与轴重合，即，

联立，得，

则，，

所以，

又点到直线的距离，

所以，令，

则，

因为，所以，

所以，所以.

综上，，即的最大值为.

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)设函数，求函数的极值；

(3)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)答案见解析；

(3)或

【分析】（1）求出函数的导数，计算，根据点斜式即可求出切线方程，

（2）求出的导数，通过讨论的范围，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（3）问题转化为函数在上，有，通过讨论的范围，得到函数的单调性，从而求出的范围即可.

【详解】（1）当时，，则 ,  

所以切点为，

因为, 所以切线的斜率为,    

所以曲线在点处的切线方程为，即，

（2）依题意，定义域为，

所以,

①当，即时，令，

因为，所以,

此时，在区间上单调递增，

令，得．

此时，在区间上单调递减．

所以在处取得极大值，无极小值；

②当，即时，恒成立，在区间上单调递减．

所以在区间上无极值．

综上，当时，在处取得极大值，无极小值；

当时，在区间上无极值．

（3）依题意知，在上存在一点，使得成立,

即在上存在一点，使得，

故函数在上，有．  

由（2）可知，①当, 即时，在上单调递增，

所以, 所以,

因为，所以．     

②当，或，即时，在上单调递减，

所以，所以．   

③当，即时，

由（2）可知，在处取得极大值也是区间上的最大值，

即，

因为,

所以在上恒成立，

此时不存在使成立．

综上可得，所求的取值范围是或.

【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性及极值值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.