江西省乐安县第二中学2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题

高中学段二年级数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。

4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（每题5分，共40分）

1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

2．已知等比数列是递增数列，，则公比

A． B． C． D．

3．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．若数列的通项公式为，则其前项和为(　　)

A． B． C． D．

5．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知椭圆，直线与的一个交点为，以为圆心的圆与轴相切，且被轴截得的弦长等于的焦距，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．-1

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知直线，其中，则（    ）

A．直线l过定点

B．当时，直线l与直线垂直

C．若直线l与直线平行，则

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．函数既是奇函数又在定义域内单调递增

C．若函数，则对于任意的有

D．若，则

11．已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（    ）

A． B．

C． D．是递增数列

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长半轴长为

三、填空题（共20分）

13．若圆与圆（）相内切，则_________．

14．已知是数列的前项和，若，，.则__________．

15．已知函数在处取得极值10，则a＝______．

16．已知函数与有两个不同的交点，则实数的取值范围为_______.

四、解答题（共70分）

17．已知函数，

（1）求在处的切线方程；

（2）当时，求的最小值.

18．已知数列的前项和为，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求数列的项和．

19．近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表.

若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.

(1)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.

附：，其中.

20．已知为数列的前项和，，，.

（1）求证：为等差数列；

（2）若，问是否存在，对于任意，不等式成立.

21．已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．

22．已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；

（2）若为函数的极值点，且，求证：.

1．B

解：因为，，所以，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以

故选：B

2．D

由得：，

又等比数列是递增数列，

∴，∴

故选D

3．B

因为所以

因为，所以

所以当时取最大值，且；

故选：B

4．D

解：∵，

∴

故选：D

5．A

当时，，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，

因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，

此时，函数在上无最小值，不合乎题意；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时，函数在上的极小值为，且，则，

综上所述，.

故选：A.

6．A

的定义域为，

在上单调递增，且，，

所以，．

的定义域为，由，

当时，，当时，，

故在处取得极大值，也是最大值，，

即．所以．

故选：A

7．D

当，解得，不妨设，故圆半径为，

根据题意：，即，故.

故选：.

8．A

由不等式，可得，

设，即使得的最小值满足条件即可，

又，

令，则，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

所以，即恒成立.

因此当时，；

当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，即实数的最大值为.

故选：.

9．ABD

对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；

对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，

而直线的斜率为，

所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；

对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；

对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确.

故选：ABD

10．BCD

A选项，应为必要不充分条件；

B选项，函数定义域为R，，且函数单调递增，故B正确；

C选项，原不等式可化为，即，即，故正确；

D选项，原不等式可化为，因为，所以，所以，故正确.

故选：BCD．

11．ABC

是正项数列，则由可得，

，即，即，故A正确；

，， ，……，，

，

即，即，则，故B正确；

由可得，

则，

即，则，故C正确；

对D，若是正项等比数列，如公比为3，则，即是常数列，故D错误.

故选：ABC.

12．AC

解：对于A：因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故A正确；

对于B：若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故B错误；

对于C：因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故C正确；

对于D：若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长半轴长为，故D不正确.

故选：AC

13．1

解：圆的圆心为，半径为2；

圆的圆心为，半径为1．

所以两圆圆心间的距离为，

由两圆相内切得，解得：．

由于，所以.

故答案为：.

14．

，则，所以,,.当时，，,.

所以从第二项起，数列是公比为的等比数列，

.

15．4

由，得，

函数在处取得极值10，

（1），（1），

，

或，

当 时，，在处不存在极值；

当时，

，，，，，符合题意.

故答案为：4.

16．

的定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

，在处的切线方程为：；

恒过定点，

若与有两个不同交点，则与图象如下图所示，

由图象可知：当或时，与有两个不同交点；

即实数的取值范围为.

故答案为：.

17．（1）；（2）1

,

,

 (2),

,

,

,

18．（1）证明见解析；（2）.

解：（1）因为，①所以.②

当时，由①-②得，即，所以.

当时，，即，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知所以

所以，③

则，④

由③-④，得，

所以.

19．(1)表格见解析，没有

(2)2

（1）依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为，

表格补充完整如下

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（2）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率

从A地区随机抽取3人，则，

X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，，

，，

所以的分布列为

所以．

20．（1）证明见解析；（2）存在,或.

（1）证明：，

，

可得：，时，．

时，，

，可得．

为等差数列，公差为，首项为．

（2）解：由（1）可得：．

．

．

可知：．

可得时，；时，．

．

存在或，对于任意，不等式成立．

21．（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值.

解：（1）椭圆：的离心率为，

可得，，

点在椭圆上，可得，

解得，，

椭圆的标准方程为：；

（2）假设在轴上存在定点，使得为定值.

设，，

椭圆的右焦点为，设直线的方程为，

联立椭圆方程，化为，

则，，

.令，解得，可得，因此在轴上存在定点，使得为定值.

22．（1）（2）证明见解析；

解：（1）由题意得的定义域为,,

则,

又,

所以曲线在点处的切线方程为,

即,

所以,解得.

（2）由（1）得,显然.

令,,

当时,,在上单调递增,无极值,不符合题意；

当时,,所以在上单调递增.

取b满足,则,,

所以.

又,所以存在,使得,此时.

又当时,,,单调递减,

当时,,,单调递增,

所以为函数的极小值点,且.令,则,所以在上单调递减.又,,所以.

令,则.

所以当时,单调递增,所以,所以,

所以.