2022-2023学年辽宁省鞍山市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省鞍山市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，再结合集合的交集运算法则进行计算即可.

【详解】由题意得，，，

所以

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A． ， B． ，

C． ， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是为：，，

故选：D.

3．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，，得：，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故选：C.

4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.

【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B．

5．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法求解函数解析式.

【详解】令，则，；

所以.

故选：D.

6．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（    ）

A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]

【答案】B

【分析】函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]得-2≤x≤3，即得y=f(x)的定义域

【详解】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，

∴-2≤x≤3，

∴-1≤x+1≤4，

∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].

故选：B

7．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.

【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．

故选：B．

8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）

A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）

【答案】B

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】因为且在上单调递增，

则，

所以，解得，即，

故选：B

二、多选题

9．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.

【详解】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；

对B，为奇函数，故B错误；

对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；

对D，，奇函数，故D错误，

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”．

B．命题“”的否定是“”

C．“是“”的必要条件．

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】ABD

【分析】根据特称命题与全称命题的否定来判断选项A，B，根据充分必要条件判断方法来确定C，D选项的正误.

【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项正确；

对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；

对于C选项，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；

对于D选项，关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确．

故选：ABD.

11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】ACD

【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；

对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；

对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；

对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；

故选:ACD

12．下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为2

B．已知，则的最小值为

C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3

D．设x，y为实数，若，则的最大值为

【答案】BD

【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，

对于B选项，当时，，

则，

当且仅当时，等号成立，故B选项正确，

对于C选项，若正数、满足，则，

，

当且仅当时，等号成立，故C选项错误，

对于D选项，，

所以,当且仅当时，等号成立，可得，

时取最大值，故的最大值为，D选项正确．

故选：BD．

三、填空题

13．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是      ．

【答案】．

【分析】由题意得恒成立，结合二次不等式恒成立对a进行分类讨论进行求解．

【详解】由题意得恒成立，

当时，恒成立，满足题意；

当时，，解得．

综上．

故答案为：．

14．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是      ．

【答案】

【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．

【详解】∵，

幂函数为奇函数，且在上递减，

∴是奇数，且，∴．

故答案为：

15．不等式的解集是，则不等式的解集为           .

【答案】

【分析】根据解集得到，解出值，代入不等式解出即可.

【详解】不等式的解为,

一元二次方程的根为,,

根据根与系数的关系可得:,所以;

不等式即不等式,

整理,得，即

解之得，

不等式的解集是,

故答案为：.

16．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．

【答案】

【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.

【详解】由题知，，

所以恒成立，即．

又因为奇函数的定义域关于原点对称，

所以，解得，

因此，，

由单调递增，单调递增，

易知函数单调递增，

故等价于

等价于

即，解得．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合．

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)当集合A变为时，求A的非空真子集的个数；

(3)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)254；

(3)或.

【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案；

（2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数；

（3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，由，得，符合题意；

当时，根据题意，可得

解得

综上，实数的取值范围是．

（2），共有个元素，

所以A的非空真子集的个数为．

（3）当时，由（1）知，

当时，

可得或，解得．

综上，实数的取值范围是或．

18．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.

(1)求的解析式；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选条件①，设，用待定系数法求得即可；若选条件②,设，根据对称轴是，结合条件列方程求得即可；若选条件③，设.，根据条件，列方程求得即可.

（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在上的值域即可.

【详解】（1）选条件①.

设，

则.

因为，所以，

所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），

所以，得.故.

选条件②.

设，

则函数图像的对称轴为直线.

由题意可得，解得.故.

选条件③

设.

因为，所以.

因为恒成立，所以，解得，

故.

（2）由（1）可知.因为，所以，

所以.所以在上的值域为.

19．已知函数.

(1)当时，证明在区间上的单调递减；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由时，得到，利用函数单调性的定义，即可证得在区间上的单调递减；

（2）由对恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合二次函数的性质，得到，得到，即可求解.

【详解】（1）证明：当时，函数，

设任意的且，

则，

因为且，可得，，

且，即，

所以在上是减函数．

（2）解：因为对恒成立，即对任意恒成立，

令，

根据二次函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，即，

所以实数的取值范围是.

20．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益销售金额政府专项补贴成本.

(1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；

(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】(1)，其中

(2)当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元

【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出的函数关系式，以及该函数的定义域；

（2）由结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：由题意可知，销售金额为万元，

政府补贴万元，成本为万元，

所以，，其中.

（2）解：由（1）可知，，

其中，                                    

当且仅当，即时取等号，                                        

所以，

所以当时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.

21．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）2．

【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；

（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；

（3）由基本不等式求得最小值．

【详解】解析：（1）．，

，

（）

即或

在上单调递增，为偶函数

即

（2）

，，，

∴

（3）由题可知，

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．

22．函数是定义在上的奇函数，且.

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；

（2）根据函数单调性的定义可证明；

（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.

【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，

经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，

又，解得，

故；

（2）解：函数在上为增函数.证明如下：

在任取且，

则，

因为，

所以，即，

所以在上为增函数.

（3）解：因为为奇函数所以，

不等式可化为，即，

又在上是增函数，所以 ，解得

所以关于的不等式解集为.