2022-2023学年辽宁省锦州市高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省锦州市高二下学期期末数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省锦州市高二下学期期末数学试题 一、单选题1．等差数列中，，则数列的公差为（    ）A．2 B．6 C．1 D．14【答案】B【分析】利用基本量法求解即可.【详解】因为等差数列中，，所以公差.故选：B.2．一箱产品中有6件正品和2件次品．每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合条件概率的定义，以及古典概型公式，即可求解.【详解】已知前两次检测的产品均是正品的前提下，还剩4件正品和2件次品，则第三次检测的产品是正品的概率.故选：A3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】根据导函数不同区间上函数值的符号，判断的区间单调性，即可确定答案.【详解】由图可知，当x＜0时，即在(－∞,0)上单调递减；当0＜x＜2时，即在(0,2)上单调递增；当x＞2时，即在(2,＋∞)上单调递减.结合各选项，只有D符合要求.故选：D4．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为8℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（    ）件．A．40 B．42 C．46 D．48【答案】B【分析】首先求，再代入回归直线方程，即可求解方程，再代入，即可求解.【详解】，，回归直线必过样本点中心，则，则，所以回归直线方程，当时，.故选：B5．康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间的区间段，当记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为（    ）（参考数据：）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据题意找到每次去掉区间长度的规律，利用等比数列的前项和公式求出进行次操作后去掉的区间总长度，再列出不等式，利用对数的运算律求解.【详解】第一次操作去掉区间长度为；第二次操作去掉两个区间长度为的区间，长度之和为；第三次操作去掉四个区间长度为的区间，长度之和为；第次操作去掉个区间长度为的区间，长度之和为；于是进行次操作后去掉的区间总长度为，所以，即，所以，所以需要操作的次数n的最小值为8，故选:B.6．已知，设曲线在处的切线斜率为，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大小关系可得结论.【详解】当时，，，，，在上单调递减；，所以，而，所以，.故选：A.7．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（    ）A．问题 B．问题 C．问题和都可以 D．问题【答案】D【分析】根据独立事件概率乘法公式，分别计算先回答问题且连对两题的概率，对比概率值的大小即可得到结果.【详解】①若先回答问题，则答题顺序可能为和，当答题顺序为且连对两题时，；当答题顺序为且连对两题时，；先回答问题，连对两题的概率为；②若先回答问题，则答题顺序可能为和，当答题顺序为且连对两题时，；当答题顺序为且连对两题时，；先回答问题，连对两题的概率为；③若先回答问题，则答题顺序可能为和，当答题顺序为且连对两题时，；当答题顺序为且连对两题时，；先回答问题，连对两题的概率为；，要使最大，应先回答问题.故选：D.8．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D. 二、多选题9．已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（    ）A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可【详解】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，故选：ABC10．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝S8，则（    ）A．a7＞0 B．S13＜0 C．S15＜0 D．S7最大【答案】ACD【分析】由可得，由等差数列{an}为递减数列，所以，所以当时，时，根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.【详解】由可得，由等差数列{an}为递减数列，所以，故A正确；又，故B错误；，故C正确；由等差数列{an}为递减数列，所且，所以当时，时，所以S7最大，故D正确故选：ACD11．已知函数，则（    ）A．f（x）有一个零点 B．f（x）在上单调递减C．f（x）有一个极值点 D．若，则【答案】BCD【分析】，，求出时，，并证明此解为的唯一解，则可判断A,B,C，对D选项，通过构造函数，利用导数证明其大于0,即可证明D选项正确.【详解】对A, B,C选项，令，因为，，，所以在上单调递减，所以，即所以当时，，且为唯一解，所以单调递减；单调递增，所以，即在上无零点，同时表明在上有唯一极值点，故A错误，BC正确；对D，若，设，则，要证，即证，因为在上单调递增，所以即证，因为，所以即证，令，，其中在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以成立，即成立，故D正确.故选：BD．12．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（    ）A．最多需要检测4次可确定患病者B．第2次检测后就可确定患病者的概率为C．第3次检测后就可确定患病者的概率为D．检测次数的期望为【答案】AB【分析】根据题意，利用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确；对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，其概率为，所以B正确；对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第1次末抽到他，其概率为，所以错误；对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为234所以，故D错误.故选：AB. 三、填空题13．已知函数，则      ．【答案】6【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.【详解】因为，所以，则，所以，故答案为:6.14．某城市每年6月份的平均气温t近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于24摄氏度的天数为      ．【答案】9【分析】先由正态分布的对称性求出气温低于24℃的概率，从而可求出气温低于24℃的天数【详解】因为每年6月份的平均气温近似服从，所以，因为，所以，所以，所以该城市6月份平均气温低于24℃的天数为.故答案为：9.15．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为个，且，则口袋中共有黑球      个．【答案】4【分析】设黑球有个，分和两种情况讨论，写出的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式即可得解.【详解】设黑球有个，当时，可取，则，则，故与题意矛盾，所以，当时，可取，则，，，则，解得，即口袋中共有黑球个.故答案为：. 四、双空题16．已知函数，则      ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为      ．【答案】          【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，【详解】解：已知，则：，，所以，则，已知数列，，，数列的前2023项的和，且，两式相加，得，故答案为：； 五、解答题17．已知数列满足，，．(1)证明：是等比数列；(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.【详解】（1）由已知，，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）∵，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，①，又∵由第（1）问，，②，∴②①得，，∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．18．已知函数．(1)若是函数的极小值点，求的值；(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，解出的值，代入，求出的单调性，即可验证是函数的极小值点；（2）对求导，讨论，和，的符号，即可得出答案.【详解】（1）令，得：，由于是函数的极小值点，所以，即，此时因为时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，所以是函数的极小值点，故满足题意．（2）时或，时，的解为或，此时在和上单调递增；的解为，此时在上单调递减；时，的解为或，此时在和上单调递增；的解为，此时在上单调递减；时，恒成立，此时在R上单调递增．综上所述：时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在R上单调递增．19．青少年时期是视觉发育的敏感期与关键期，这个阶段的视觉发育容易受环境因素影响，某校为研究学生每天使用手机时长与近视率的关系，从全校学生中随机抽取600名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：有20%的学生每天使用手机超过1h，这些人的近视率为50%；每天使用手机不超过1h的学生的近视率为37.5%．(1)若从该校学生中随机抽取一人，请根据以上数据估计该同学近视的概率；(2)请完成2×2列联表．并根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5%的前提下．可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关吗？视力每天使用手机时长合计超过1h不超过1h近视   不近视   合计  600附：．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)0.4(2)表格见解析，可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联． 【分析】（1）利用全概率公式计算即可；（2）根据题中数据完成列联表，求出，再对照临界值表即可得出结论.【详解】（1）设事件A为“任选1名学生每天使用手机超过1h”，事件B为“任选1名学生近视”，则，由全概率公式得，所以从该校学生中随机抽取一名学生其近视的概率为0.4；（2）2×2列联表为视力每天使用手机时长合计超过1h不超过1h近视60180240不近视60300360合计120480600根据列联表中的数据，经计算得到，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联．20．已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，再根据公式进行计算可得数列的通项公式；（2）先分为奇数和为偶数分别计算出数列的通项公式，在求前项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前项和.【详解】（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，，，对于数列：当时，，当时，，当时，也满足上式，，.（2）由题意及（1），可知：当为奇数时，，当为偶数时，，令，，则，，，两式相减，可得，，，，，.【点睛】关键点点睛：第二问中当为奇数时，求出，并对进行裂项为是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.21．2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为；方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为．累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．(1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算即可.（2）求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.【详解】（1），甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，所以，所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为.（2）选方案一，则，选方案一得分的数学期望为，选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为，进行三轮投篮，得3分的次数为随机变量，则，，进行三轮总得分，则选择方案二得分的期望为，显然，当，，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；    当，，方案二期望大，所以甲应该选方案二；    当，，方案一期望大，所以甲应该选方案一．22．已知函数．(1)若求方程的解集；(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，①求的取值范围；②证明：．【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【分析】（1）将带入求解，解得然后根据函数的单调性求解零点即可；（2）①根据两个零点且有两个极值点为突破点辨析求解；②结合函数双变量问题转化证明求解是本题的难点；【详解】（1）若则，定义域为由，可得设，则，由，可得在上单调递减，由，可得在上单调递增，所以，故方程的解集为．（2）①解：令，得，设，由，可得0＜x＜1，故在(0，1)单调递增；由，可得x＞1，故在(1，＋∞)单调递减，所以，又当x∈(0，1)时，，当时，∈(0，1)，若有两个零点，则，故，，令，得，设，则，由，可得，由，可得，故在上单调递增；由，可得，故在上单调递减，，当时，，当时，，若有两个极值点，则，综上， ；②证明：不妨令，因为且得，由为的两根得：，两式分别乘并整理得：，所以，要证：，即证：，即证：，由于，所以，所以只需证，令，，所以在上单调递减，所以，故， 所以．【点睛】第二问是本题的难点，结合条件分析两个零点和两个极值点，然后求交集是第一小问的解题核心；双变量问题解题一定要注意将两零点代入化简，然后找到题目的突破点；