辽宁省鞍山市2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含答案）

2022—2023学年度上学期期中考试

高一数学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知命题：“，都有”，则命题的否定是（    ）

A.，使得 B.，使得

C.，使得 D.，使得

3.不等式组的解集是（    ）

A. B. C. D.

4.设，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

5.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ）

A. B. C. D.

6.若函数满足且，则在上的零点（    ）

A.至多有一个 B.有1个或2个 C.有且仅有一个 D.一个也没有

7.下列说法正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则 D.若，，则

8.已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10.下列选项中正确的是（    ）

A.函数的定义域为

B.函数与函数是同一个函数

C.函数中的表示不超过最大整数，则当的值为时，

D.若函数，则

11.下列说法正确的有（    ）

A.命题“，”的否定是“，”

B.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C.若，则“”的充要条件是“”

D.“”是“”的充分不必要条件

12.下列说法正确的有（    ）

A.若，则的最小值为

B.若，则的最小值为6

C.若，则的最小值为

D.已知，都是正数，且，则

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.不等式的解集为________.

14.若函数是偶函数，则的单调递增区间是________.

15.若函数则的值为________.

16.已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

（1）设数轴上点与数3对应，点与数对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求的取值范围；

（2）求方程组的解集.

18.（12分）

（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

19.（12分）

已知，

（1）求证：是偶函数；

（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围.

20.（12分）

已知定义在上的函数的图像经过原点，在上为一次函数，在上为二次函数，且时，，，

（1）求的解析式；

（2）求关于的方程的解集.

21.（12分）

某旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过人时，人均收费都按照人时的标准.设景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元.

（1）求关于的函数解析式；

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围.

22.（12分）

已知函数，.

（1）判断函数在上的单调性，并加以证明；

（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

高一期中考试数学A卷答案

一、单选题

ACDABCCD

二、多选题

9.BD    10.ACD    11.ABD    12.ABD

三、填空题

13. 14.

15.3 16.

四、解答题

17.解：（1）因为的中点对应的数为，所以由题意可知，

解得，所以的取值范围是；…………………………5分

（2）将②代入①，整理得，解得或.

利用②可知，时，；时，.

所以原方程组的解为.………………………………10分

18.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.………………12分

19.（1）证明：易知，因为，

所以是偶函数；…………………………4分

（2）解：由函数解析式可得

，

所以，而，

所以恒成立，即恒成立，

只需，解得，

所以的取值范围是.………………………………12分

20.解：（1）当时，

∵，∴设.

又，∴，解得.

∴，.

∴.

故和时，的图象均过点.

∵当时，为一次函数，

∴设.

∵的图像过原点，∴，

∴，即.

将点代入，得，即.

故，.

因此，………………………………6分.

（2）当时，，

解得；

当时，，

即

解得

又因为，

所以，

综上所述，的取值为或.…………………………12分

21.解：（1）当时，；

当时，；

当时，，

所以

（2）因为当时，，随的增大而增大，当时，因为，所以.所以，随的增大而增大，当时，，

所以当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，因为，

所以，当时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加.…………12分

22.解：（1）函数在上单调递增.

证明如下：设，则

，

因为，，

，

所以，即，

所以函数在上单调递增.………………………………4分

（2）由（1）知，当时，.

因为，在上单调递增，所以时，，

依题意，只需，

所以解得，

即实数的取值范围为.………………………………12分