辽宁省鞍山市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

2022—2023学年度上学期期中考试

高二数学（A）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．直线的倾斜角为（    ）

A．0°   B．60°   C．90°   D．120°

2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD的位置关系是（    ）

A．平行   B．垂直   C．异面   D．相交但不垂直

3．过点（2，0）且与直线2x－4y－1＝0垂直的直线的方程是（    ）

A． B．2x＋y－4＝0  C．x－2y－2＝0  D．x＋2y－2＝0

4．过点引圆的切线，则切线的方程为（    ）

A．或   B．

C．或   D．

5．已知空间向量，，，若三向量，，共面，则实数z＝（    ）

A．1   B．   C．   D．

6．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（    ）

A．14   B．34   C．14或45   D．34或14

7．已知圆，若直线与圆交于A、B两点，则弦长的最小值是（   ）

A．   B．4   C．    D．

8．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（    ）

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知向量，则与共线的单位向量（    ）．

A．  B．  C．  D．

10．若圆和圆的交点为A，B，则有（    ）

A．公共弦AB所在直线的方程为

B．线段AB的垂直平分线的方程为

C．公共弦AB的长为

D．P为圆上一动点，则点P到直线AB的距高的最大值为

11．将正方形ABCD沿对角线ED折成直二面角，则（    ）

A．       B．是等边三角形

C．AB与平面BCD所成的角为60°   D．AB与CD所成的角为90°

12．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相高，则称该位置关系为“平行相高”；否则称为“平行相交”．已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值可以是（    ）

A．1   B．2   C．3  D．4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共小题，每小题5分，共20分．

13．平行六面体中，O为的中点，，，，则______．

14．若直线与直线互相平行，则实数______．

15．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，PA＝AB＝BC＝2．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．

16．若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线l的斜率为，且直线l经过直线所过的定点P．

（1）求直线l的方程；

（2）若直线m平行子直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2．．

（1）求证：平面PAC；

（2）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知圆N经过点，，且它的圆心在直线上．

（1）求圆N关于直线对称的圆的方程；

（2）若点D为圆N上任意一点，且点，求线段CD的中点M的轨迹方程．

20．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，AC＝AB＝4，，点E、F分别为、AB的中点．

（1）证明：平面；

（2）求与平面AEF所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知过点，且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）若，其中O为坐标原点，求．

22．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，AD＝2，AB＝3，平面平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F．

（1）求证：；

（2）若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为，求点B到平面AEC的距离．

高二数学试题（A）

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．  15．  16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

解析：（1）整理得，所以直线过定点，

因此，即．

（2）设直线m的方程为，，则，解得或．

∴直线m的方程为或．

18．（本小题满分12分）

解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

又因为，所以平面PAC．

（2）设．因为，AB＝2，所以BO＝1，．

如图，以O为坐标原点，直线OB，OC分别为x轴，y轴，过点O平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，所以，．

设PB与AC所成角为，

则，即PB与AC所成角的余弦值为．

19．（本小题满分12分）

解析：（1）由已知可设圆心，又由已知得，

从而有，解得a＝2，

所以圆N的圆心为，半径，所以圆N的方程为，

圆心关于的对称点为（1，5），

所以圆N关于直线对称的圆的方程为．

（2）设，，则由及M为线段CD的中点得，，解得．

又点D在圆上，所以，即，

故所求的轨迹方程为．

20．（本小题满分12分）

解析：（1）证明：如图，连接、，因为三棱柱为直三棱柱，

所以E为的中点．又因为F为AB的中点，所以．

又平面，平面，所以平面．

（2）以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，所以，，，

设平面AEF的法向量为，则，

令x＝3，得，记与平面AEF所成角为，则．

21．（本小题满分12分）

解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

所以过点的直线l的方程为，即．

由已知可得圆C的圆心C的坐标为（2，3），半径r＝1．

当直线与圆相切时，有，

解得，．故当时，

过点的直线与圆相交于M，N两点．

（2）设，，

由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为，代入圆C的方程，消去y整理可得，所以，，

所以．

由，

解得k＝1，所以直线l的方程为，即．

所以圆心C在直线l上，所以线段MN即为圆的直径，即．

22．（本小题满分12分）

解析：（1）证明：∵底面ABCD为矩形，∴，

又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC．

又∵平面ADE，平面平面，∴．

（2）如图，取AD的中点O，连接PO，过点O作交BC于点H．

∵侧面PAD为正三角形，∴，

∵平面平面ABCD，且交线为AD，

∴平面ABCD，∵底面ABCD为矩形，∴，∴．

以O为原点，OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，∴，．

设，则，∴．

设平面AEC的法向量为，

则，

令，则，．∴平面AEC的一个法向量为．

易知是平面ABC的一个法向量．

∴，

解得，∴，∴．

又∵平面AEC的一个法向量，∴点B到平面AEC的距离为．