2022-2023学年黑龙江省龙西北八校联合体高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省龙西北八校联合体高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由集合，得不等式，解出不等式，可得集合的全部元素，由交集的定义可得最后答案.

【详解】由集合，得不等式，解得：，

因为，所以，由，

可得：，

故选：C.

2．已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.

【详解】解：因为，所以，

所以，则共轭复数的虚部为.

故选：C

3．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由，得求出，再求出的坐标，然后利用投影向量的定义可求得结果.

【详解】因为， ，所以，得，

所以，，

所以在上的投影向量的坐标为，

故选：C

4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ）

A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567

【答案】B

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，

由题意可知，，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力

5．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（    ）

A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度

D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.

【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，

接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；

若向左平移个单位长度，得到函数的图象；

故A错误，B正确；

C中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A也是错误的，故C错误；

D中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，故D错误.

故选：B

6．下列说法中，正确的命题是（       ）

A．已知随机变量X服从正态分布，则

B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则

D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2

【答案】D

【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A，根据相关系数的意义可以判定B，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C，利用方差的性质可以求得数据的方差，进而判定D.

【详解】解：A. 已知随机变量服从正态分布，，

则，所以，

所以，

∴，故A错误；

B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，

相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，

反之，线性相关性越弱，故B错误；

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C错误；

D. 设数据，，…，的方差为，

则样本数据，，…，的方差为，则，即数据的方差为2，故D正确.

故选：D.

7．在三棱锥中，平面，且.若三棱锥的外接球体积为，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】第一步确定球心位置在的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.

【详解】因为平面，所以，

又因为，所以平面，所以，

设的中点为，则到的四个顶点的距离都相等，

所以点是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为，得外接球半径，所以.设，则，得，

所以，

当且仅当时，取得最大值.

此时，

所以，三棱锥的表面积.

故选：C.

【点睛】本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积.

其解题规律：

(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.

(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．

8．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ）

A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88

【答案】C

【分析】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，根据全概率公式即可求出答案．

【详解】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，

则提出的一台是第车间生产的产品，

则，

由题意可得，，

，，

由全概率公式可得,

故选：C

二、多选题

9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为的等差数列

【答案】ABC

【分析】本题首先可根据得出，与联立即可求出、以及，A正确，然后通过即可判断出B正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据即可判断出D错误.

【详解】因为数列是等比数列，所以，

联立，解得或，

因为公比为整数，所以、、，，，A正确，

，故数列是等比数列，B正确；

，C正确；

，易知数列不是公差为的等差数列，D错误，

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.

10．下列说法正确的是（    ）

A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1

B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系

C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5

D．在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好

【答案】ACD

【分析】A. 根据直线方程判断； B. 利用相关系数的意义判断；C. 由两边取对数求解判断；D. 根据相关系数的意义判断.

【详解】A. 因为回归直线方程为，，则正相关，又一组样本数据的散点图中所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1，故正确；

B. 若变量，的样本相关系数为0，则与可以存非线性相关关系，故错误；

C. 由两边取对数得，设，则，又，则，的估计值分别为和0.5，故正确；

D. 在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好，故正确.

故选：ACD

11．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】构造函数，需借助导函数判断函数的单调性，利用函数单调性进行求解．

【详解】令，则．

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

当时，取最大值，．

的值域为，

，即，当且仅当时，等号成立．

则有，故A选项错；，故B选项对；，故C选项错；

令，，

当时，，单调递减；

由，则有，即 ，

由，可得，故D选项对．

故选：AC．

12．已知函数，则下列结论中正确的有（    ）

A．必有唯一极值点

B．若，则在(0,+∞)上单调递增

C．若，对有恒成立，则

D．若存在，使得成立，则

【答案】BD

【分析】对于A，求函数的导数，判断当 时，，即此时无极值点，判断A;对于B，求出函数的导数，判断其正负即可；对于C，构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对于D，将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可.

【详解】由题意得，当 时，，

此时单调递增，无极值点，故A错误；

当时，，故当 时，，

则在(0,+∞)上单调递增，故B正确；

当时，对有恒成立，

当 时，恒成立，

当 时，即对恒成立，

 令，

当 时，递减，当 时，递增，

故，故 ，故C错误；

若存在，使得成立，即在时， ，

令 ，当时，，

故，故，故D正确，

故选：BD

三、填空题

13．设随机变量，，且，则      .

【答案】

【分析】由题意可得，则，可求出，从而可求出，进而由求得结果

【详解】因为随机变量，

所以，

因为，，

所以,

解得，

所以,

所以

故答案为：

14．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为           .

【答案】45

【分析】根据二项式系数相等可求解，根据赋值法可求，进而根据通项即可求解.

【详解】有题意可知：，令，则，的展开式的通项为，令，所以的项的系数为，

故答案为：45

15．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为      ．

【答案】84

【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色，颜色都不同；（2）用三种颜色，或同色；（3）用两种颜色涂色，同色，同色，根据分类甲法原理，即可求出结论.

【详解】分三种情况：

（1）用四种颜色涂色，有种涂法；

（2）用三种颜色涂色，有种涂法；

（3）用两种颜色涂色，有种涂法；

所以共有涂色方法.

故答案为：84

【点睛】本题考查排列和分类加法原理的应用，合理分类是解题的关键，属于中档题.

16．已知关于x的不等式恒成立，则的取值范围为        .

【答案】

【分析】由题可得，可构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合单调性原不等式可化为，再求函数的最大值即可.

【详解】不等式可化为，

构造函数，则原不等式可化为

因为，

设，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以，

所以，

∴在上单调递增，

∴原不等式可化为即，

由已知在上恒成立，

所以，

设，

∴，令，得，

当时，，函数在单调递增，

当时，，函数在单调递减，

∴，

∴，

∴的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于观察不等式的结构特征，将其转化为或的形式，再利用单调性化简不等式，并结合恒成立问题处理方法求参数的范围.

四、解答题

17．已知函数，其中a为常数．

(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；

(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义计算作答.

（2）由（1）的结论，利用导数探讨函数在上的单调性，求出最小值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，

所以a的值是1.

（2）由（1）得，，由得或，

因，则当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的最小值.

18．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个.若从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为.

(1)求白球和黑球各有多少个；

(2)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；

(3)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望.

【答案】(1)白球有4个，黑球有6个

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）设袋中有黑球x个，则白球有10-x个，利用条件概率求解；

（2）由（1）得到摸出黑球的概率是，然后利用独立重复试验求解；

（3）的可能取值为0,1,2，求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，

设取出黑球为事件A，取出白球的事件为B，

则，

解得，

所以白球有4个，黑球有6个；

（2）由（1）知摸出黑球的概率是，

则有放回地从袋中随机摸出3个球，

恰好摸到2个黑球的概率为；

（3）的可能取值为0,1,2，

则，，

，

的分布列为：

.

19．已知函数，其中

(1)若函数在处取得极值，求实数a的值；

(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)2；

(2).

【分析】(1)求出函数的导数，由处导数值为0求出a，再检验作答.

(2)将不等式作等价变形，再构造函数并借助导数求函数的最值即可作答.

【详解】（1）依题意，函数的定义域为，求导得：，因函数在处取得极值，

则有，解得，此时，，

当时，，当时，，因此，函数在处取得极值，则，

所以实数a的值是2.

（2）因，，

令，，求导得：，

当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

因此，当时，，于是得，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

20．某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习､完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：（单位：人）

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为设立自习室对提高学生成绩有效？

(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义.

下面的临界值表供参考：

（参考公式：，其中）

【答案】(1)认为设立自习室对提高学生成绩有效，此推断犯错误的概率不大于0.001

(2)，解释答案见解析

【分析】(1)根据题中的数据，利用独立性检验可判断；

(2)先求得分布列，再计算数学期望，从数学期望的比较中可得出结论.

【详解】（1）零假设为：设立自习室对提高学生成绩无效.

根据列联表中的数据，计算得到，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为设立自习室对提高学生成绩有效，此推断犯错误的概率不大于0.001.

（2）易知X的所有可能取值为0，1，2.

则.

所以X的分布列为：

所以.

同理可得Y的所有可能取值为0，1，2，

则，

所以Y的分布列为：

所以，即，其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习室对提高学生成绩有效.

21．近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

参考数据：

表中.

(1)根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；

(3)经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？

附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.

【答案】(1)；

(2)；810公斤；

(3).

【分析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.

（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.

（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.

【详解】（1）根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.

（2）对两边取对数，得，即，

由表中数据得：，，

，则，

∴关于的回归方程为，

当时，，

∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.

（3）依题意，，则有，

∴，则，

∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递增区间为；

(2)的最大整数值为3.

【分析】（1）当时，，先求函数的导数，为函数的单调递增区间，是函数的单调递减区间；

（2）对于恒成立问题，将不等式参变分离，即当时，恒成立，将问题转化为求函数的最小值，.

【详解】（1）当时，，

∴ 由，解得；由，得

∴的单调递增区间为，单调递增区间为

（2）由恒成立，得，

∴．

∵，∴恒成立

设，则

令，则．

∵，∴在上单调递增

而．

∴存在，使，即

∴当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

∴在处有极小值（也是最小值）

∴．

又由恒成立，即

∴的最大整数值为3.