2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则运算即得.

【详解】因为.

故选：D.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次方程求集合M，应用集合交运算求集合即可.

【详解】由，且，

所以.

故选：A

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分、必要性定义，指数函数单调性判断题设条件间的关系.

【详解】由，则，故，充分性成立；

由，则，即，必要性成立；

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

4．在一次数学测试中，高一（5）班50名学生的平均分为83.78，其中女生有22人，女生的平均分比男生的平均分多1分，则男生的平均分为（    ）

A．82.34 B．83.34 C．83.36 D．84.36

【答案】B

【分析】依题意得到关于男生平均分的方程，解之即可.

【详解】依题意，设男生平均分为，则女生平均分为，

所以，得.

故选：B.

5．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ）

A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84

【答案】C

【分析】利用对立事件与独立事件的概率公式求解即可.

【详解】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，

所以在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．

故选：C.

6．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的侧面积约为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，作出近似圆台的轴截面，求出其母线长，由圆台的侧面积公式可求得结果

【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，

上底面半径，下底面半径为，高，

所以圆台的母线长为，

所以圆台的侧面积为，

故选：C

7．已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（    ）

A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用正弦定理的边角关系，将已知条件化为，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状.

【详解】由题设，则，

又，则，故，即.

所以一定是等腰三角形.

故选：A

8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可得 ，然后求出的范围可得答案.

【详解】如图，取AF的中点Q，

根据题意，是边长为的正三角形，易得，

又

，

根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为3，此时，

当点P位于正六边形的顶点时有最大值为，

此时，∴.

故选：A

二、多选题

9．已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中错误的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】ABD

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】因为，为两条不同直线，，为两个不同平面，

对于A：若，，，则或与异面，故A错误；

对于B：若，，则或，

若，则存在直线使得，又，则，所以；

若，又，所以，

综上可得，故B错误；

对于C：若，，则，又，所以，故C正确；

对于D：若，，则或，故D错误；

故选：ABD

10．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则关于这组数据，下列说法正确的是（    ）

A．中位数为3 B．方差为

C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5

【答案】AC

【分析】先将这组数从小到大排序，易判断AC；先求平均数再求方差，从而判断B；利用百分位数的求解即可判断D.

【详解】将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，

故中位数为，故A正确；

平均数为，

则方差为，故B错误；

众数为和，故C正确；

这组数据的第百分位数为，不是整数，故取第9个数字，第9个数字为，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A．

B．

C．的最小正周期为

D．的图象关于点对称

【答案】ABC

【分析】根据正弦型函数图象求解析式，由图象平移确定解析式，进而判断各项的正误即可.

【详解】由图知：，则，故，

又，即，故，

由，所以，则，

故，则，

显然，故不关于对称.

故选：ABC

12．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，点是的中点，过三点的平面与平面的交线为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．平面

C．三棱锥的体积为 D．直线与所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】对于A，利用线面平行的判定与性质定理判断即可；对于B，利用线面垂直的判定定理判断即可；对于C，利用等体积法即可判断；对于D，利用异面直线所成角的定义与勾股定理即可判断.

【详解】因为，平面，平面，所以平面，

又平面，平面平面，所以，故A错误；

因为平面，平面，所以，

因为底面是正方形，所以，

又平面，所以平面，

因为，所以平面，故B正确；

因为平面，平面，所以，

因为底面是正方形，所以，

又平面，所以平面，

又是的中点，所以到面的距离为，

而，

所以，故C正确；

因为在正方形中，，又，则，

所以与所成角为（或补角），

因为平面，平面，所以，故，

在中，，

在中，，，

所以，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用线面平行的性质定理证得，从而将ABD选项中的相关的结论转化为与的相关结论，从而得解.

三、填空题

13．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则        ．

【答案】或

【分析】根据等角定理即可确定的大小.

【详解】根据等角定理知：或，

若，则或.

故答案为：或

14．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则        ．

【答案】//

【分析】根据已知等量关系，利用余弦定理求得，即可确定角的大小.

【详解】由题设，而，

又，则.

故答案为：

15．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则实数k的值为      .

【答案】/

【分析】由向量平行得出，建立方程组得出的值.

【详解】由题意，向量与共线，可得，

即，可得，解得.

故答案为：

16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为          .

【答案】

【分析】设球心为所在圆面的圆心为，根据球的几何特征可知，当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，即可根据三棱锥的体积公式求出球的半径，从而得其外接球的表面积．

【详解】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面．

因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为.

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数在复平面内所对应的点为.

(1)若复数为纯虚数，求的值；

(2)若点在第三象限，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解

【详解】（1）由题意得，

因为为纯虚数，

所以，解得.

（2）复数在平面内所对应的点为，

因为点在第三象限，所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知向量，满足，，且，的夹角为．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积的运算律有，结合已知即可求模长；

（2）由向量垂直及数量积运算律列方程求参数值即可.

【详解】（1）由，则.

（2）由题意，

所以.

19．如图，在五面体中，平面，，，，点为中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用平行四边形证得，从而得到平面，由此利用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论可知为直线与平面所成角，利用勾股定理求得，从而利用余弦定理即可得解.

【详解】（1）取的中点为，连接、，如图，

因为平面，平面，故，

而，为的中点，所以，

又，平面，所以平面，

因为、分别为、所在棱的中点，所以，，

又，，所以，，

故四边形为平行四边形，则，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）因为平面，所以为直线与平面所成角，

在中，，，则，

因为平面，平面，所以，

所以在中，，则，

同理，在中，，则，

在直角梯形中，，

所以在中，.

即直线与平面所成角的余弦值为．

20．在①；②；③；这三个条件中任选一个（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）补充在下面问题中，并作答．

在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且______．

(1)求角的大小；

(2)若点满足，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换，对各条件逐一变换化简即可得解；

（2）利用向量的线性运算与数量积运算法则推得，从而利用三角形面积公式即可得解.

【详解】（1）若选①，

因为，由正弦定理得，

，即，

.

若选②，

因为，由余弦定理得，

则，故，

.

若选③，

因为，

所以由正弦定理得，，

即，

整理得，故，

.

（2）因为，

所以，则，

故

，

因为，，即，

故，则，

所以的面积为.

21．“2022年全国城市节约用水宣传周”于5月15日至21日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了100名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取多少人？

(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人作进一步访谈，求这2人都是第3组的概率．

【答案】(1)各应抽取1人，2人，3人

(2)

【分析】(1)由频率分布直方图的的性质知，每个矩形的面积为每个小组的概率，第1，2，3组的人数比为第1，2，3组概率之比，采用分层抽样的方法抽取即可；

(2)由(1)得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案.

【详解】（1）由表中的数据可知：第1，2，3组的人数比为0.01：0.02：0.03=1：2：3，

∴采用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取1人，2人，3人．

（2）记抽取的6人来自第1组的1人为a，来自第2组的2人为b，c，来自第3组的3人为d，e，f，则在所抽取的6人中随机抽取2人的可能结果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，

其中2人都来自第3组的有de，df，ef共3种，

∴这2人都是第3组的概率．

22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，由边的比求出正切值.

【详解】（1）证明：连接交于，连接，则为中点.

因为分别为中点，

所以.

因为平面平面，

所以平面.

（2）取中点，连接，

取中点，连接，

可得.

因为平面平面，平面平面.

所以平面，

因此平面平面，所以.

过作交于，连接，

可得平面，所以，

所以就是所求二面角的平面角，如图所示，

，

在直角中，可得，

即二面角的正切值为.