2022-2023学年福建省连城县第二中学等校高二下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省连城县第二中学等校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．2 B．6 C．12 D．48

【答案】C

【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数的解析式，准确计算，即可求解.

【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数在区间的平均变化率为：

.

故选：C.

2．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解.

【详解】由，，

得，

因为A，C，D三点共线，所以，

则存在唯一实数，使得，

则，解得.

故选：C.

3．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量线性运算即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：A.

4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．

【详解】根据题意，设，则，，，

则，，

设平面的一个法向量为，

则有，令，可得，则.

故选：B．

5．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.

【详解】因为，所以，，

所以，，

所以.

故选：D.

6．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将两个函数作差，得到函数，再求出函数的最小值即可求出结果.

【详解】设，

则，

当时，，当，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，取得最小值，

所以的最小值为，

故选：D.

7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】因为，为的中点，则，

由圆锥的几何性质可知平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

又因为，所以，点到平面的距离为.

故选：B.

8．如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（   ）

A．15 B．16 C． D．

【答案】D

【分析】连接与交于点，连接，证得，设正四棱柱的底面边长为，求得，得到几何体的体积为，令，得到，求得，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.

【详解】如图所示，连接与交于点，连接，

因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，

又因为平面，所以，

由题意知，正四棱锥的侧棱长为，且正四棱柱的侧棱长为，

设正四棱柱的底面边长为，

在正方形中，可得，所以，

则几何体的体积为，

令，可得且，

可得，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以几何体的体积的最大值为.

故选：D.

二、多选题

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为2 D．的最大值为4

【答案】ABC

【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.

【详解】对于A，若，且，，

则存在唯一实数使得，即，

则，解得，故A正确；

对于B，若，则，

即，解得，故B正确；

，

故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

10．已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）

A．在上单调递增

B．曲线在处的切线的斜率为0

C．

D．有1个极大值点

【答案】ABD

【分析】根据导函数为的图象，结合导函数与函数的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】根据定义在区间上的函数的导函数的图象，

对于A中，当时，，且仅当时，，所以在上单调递增，所以A正确；

对于B中，当时，可得，所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确；

对于C中，因为在上单调递增，所以不是函数的最大值，所以C不正确；

对于D中，由的图象，可得时，，单调递增；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以只有当时，函数取得极大值，所以有1个极大值点，所以D正确.

故选：ABD.

11．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则（    ）

A．

B．点的坐标为

C．O，E，F，A四点共面

D．直线CE与直线DG所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】先求出正方形的对角线从而可得；根据即可得出点的坐标；判断是否可以用表示即可判断C；利用向量法即可判断D.

【详解】由题意正方形的对角线，

则，

则，故A错误；

因为，则，故B正确；

对于C，，

则，

所以，

又为三个向量的公共起点，所以O，E，F，A四点共面，故C正确；

由，得，

则，

则，

所以直线CE与直线DG所成角的余弦值为，故D正确.

故选：BCD.

12．已知定义在上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】设等差数列的公差为，不妨设，由，得到，又由等比数列，设公比为，根据函数为奇函数，求得，再由，得出，转化为在上有解，令，求得，得出函数的单调性与，结合，求得，进而结合选项，即可求解.

【详解】当时，则，因为函数是上的奇函数，

所以，即函数，

设等差数列的公差为，不妨设

因为，可得，解得，所以，

则，

又因为等比数列，设公比为，

可得，

由且函数为奇函数，所以点关于原点对称，

所以，即，解得，

所以，

因为，可得，所以，

即方程即在上有解，

即，即在上有解，

令，可得，

令，即，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，，

所以，解得，所以A正确；

又由，，所以B正确，D不正确；

令，可得，所以单调递减，

又因为，所以，即，可得，

又由，所以，所以B符合题意.

故选：ABC

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

三、填空题

13．已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量：       .

【答案】(答案不唯一)

【分析】由方向向量的定义求解即可.

【详解】，

因为点，都在直线上，

所以都是直线的方向向量，

则可取.

故答案为：.

14．已知函数在上单调，则a的取值范围为      ．

【答案】

【分析】求得，根据题意转化为或在上恒成立，结合指数函数的性质，即可求解.

【详解】由函数，可得，

要使得函数在上单调，则或在上恒成立，

即或在上恒成立，

当在上恒成立，可得；

当在上恒成立，此时不存在，舍去，

综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：.

15．如图，在墙角有一根长1米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在时，木棒的端点A以0.1m/s的速度竖直向下匀速运动，端点B向右沿直线运动，则端点B在这一时刻的瞬时速度为         m/s.

【答案】

【分析】设运动的路程为，求出的表达式，在求出其导数，将代入即可得解.

【详解】设运动的路程为，则，

变形可得，

其导数，则，

即端点B在这一时刻的瞬时速度为.

故答案为：.

16．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，O是BE的中点，过点О作平面的垂线，交平面于点F，则        .

【答案】

【分析】取的中点，的中点，连接，作交于点，证明平面，从而可得与两点重合，进而可得出答案.

【详解】取的中点，的中点，连接，作交于点，

则，

又平面，平面，

所以平面，

因为O是BE的中点，所以且，

又平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面，

又平面，

所以，

又因平面，所以，

又平面，

所以平面，

因为平面，交平面于点F，且为的公共点，

所以与两点重合，

因为，

所以，

在与中，，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：取的中点，的中点，连接，作交于点，证明平面，说明点即为点时解决本题的关键.

四、解答题

17．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出即可；

（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.

【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，故，

所以，

即线段的长度为；

（2），

则，

所以.

18．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求在区间上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，并求出、的值，即可得出在区间上的值域.

【详解】（1）解：因为，则，则，，

因此，曲线在处的切线方程为.

（2）解：因为，则，

令可得或，列表如下：

又因为，，

因此，函数在区间上的值域为.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，.

(1)证明：平面DEF.

(2)求平面DEF与平面CDP所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；

（2）利用向量法求解即可.

【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

因为，，

所以，

则，

设平面的法向量为，

则有，令，则，

所以，

因为，所以，

又平面，

所以平面；

（2）因为平面与平面重合，

故可取平面的法向量为，

则，

所以平面DEF与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为.

20．已知函数.

(1)若在处取得极值，求a的值；

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，由，求得，经验证，当时，函数取得极小值，符合题意；

（2）由，当时， 单调递减，不符合题意；当时，利用导数求得函数的单调性与最小值，结合，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，

且，

因为函数在处取得极值，所以，解得，

当时，可得，

当时，，单调递减

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，符合题意.

（2）解：由，其中，

当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，

当时，，且，

要使得函数有两个零点，则满足，即，

解得，所以实数的取值范围是.

21．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且.

(1)证明：.

(2)若，，，点M在直线上，求直线AB与平面所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，交于点O，连接AO，证明出平面，再利用线面垂直的性质推理作答；

（2）以点O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）连接，交于O，连接，

因为侧面为菱形，则，

而，O为的中点，即有，

又，且平面，于是平面，

而平面，所以；

（2）设，而，有，，

又，则，

即有，因此，即，，两两垂直，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，

则，

设，

因为，所以，

则，

设平面的法向量为，

则有，令，则，

所以，

设直线AB与平面所成角为，

则

，

当时，，

当时，

，

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

则，

所以，

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

则，

所以，

综上所述，直线AB与平面所成角的正弦值的最大值为.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

22．已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)若，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论，即可得出答案；

（2）令，求导，令，分和两种情况讨论，得出函数的单调性，由此求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，即可得证.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

当时，，所以函数在上单调递增，

当时，令，得，

当时，，当，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）令，

则，

令，

则，

当时，令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

又当时，，

所以当时，，

当时，令，

则，

所以函数在上单调递增，

所以，则，

又，所以，

所以当时，，

所以函数在上单调递减，

又，

所以当时，，即，

当时，，即，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即.

【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形．

(2)构造新的函数h(x)．

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．