2022-2023学年山东省高密市第三中学高一下学期4月月考数学试题含解析

  高一4月份阶段性检测数学试题2023.04

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

结合诱导公式化简即可

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查三角函数值的化简，属于基础题

2. 若则与的夹角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量夹角余弦公式可求得结果.

【详解】由题意得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用向量数量积求解向量夹角的问题，属于基础题.

3. 若，，，则与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的数量积与模的关系计算即可.

【详解】解析：由，得，所以．

故选：B

4. 设向量的模为，则=

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据向量的模的运算求出，再利用二倍角公式即可

【详解】因为向量的模为，故

故选：B

5. 化简的结果是

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先用消去式子中的，再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即得．

【详解】由题得原式，，，

，故选B．

【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用，在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数．

6. 函数的单调递增区间是(　　)

A. ，k∈Z B. ，k∈Z

C. ，k∈Z D. ，k∈Z

【答案】B

【解析】

【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.

【详解】由题意，函数，

令，解得，

即函数单调递增区间是，故选B.

【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7. 如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（    ）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象由最小值可得，即可求得的值，进而可得最大值.

【详解】某港口某天时到时的水深变化曲线近似满足函数，

据此图象可知，这段时间水深最小值为，所以，

故这段时间水深的最大值为，

故选: A.

8. 如图，向量，，且，为垂足，设向量，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算公式即可求解.

【详解】为在上的投影．故，

∴．

故选：A.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列函数中，周期不为的是

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角函数的周期公式求出每一个选项对应的函数的周期即得解.

【详解】对于选项A，周期为；

对于选项B，周期为；

对于选项C，周期为；

对于选项D，周期为.

故选BCD

【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ）.

A. 函数的最小正周期是

B. 函数在区间上是减函数

C. 函数的图象关于点对称

D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，得出结论．

【详解】∵

对A，因为，则的最小正周期，结论正确．

对B，当时，，则在上是减函数，结论正确．

对C，因为，得到函数图象的一个对称中心为，结论不正确．

对D，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．

故正确结论有A，B，

故选：AB．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题．

11. 若函数在开区间内既没有最大值1，也没有最小值，则下列的取值中，可能的有（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据题干条件初步判断周期，因为开区间，所以周期可等于，求出，根据范围逐一判断选项即可.

【详解】解：因为函数在开区间内既没有最大值，也没有最小值，所以的周期大于等于，即，所以.

当时，，时，，无最大值1和最小值-1，成立，A正确；

当时，，时，，无最大值1和最小值-1，成立，B正确；

当时，，时，，有最大值1，不成立，C不正确；

当时，，时，，无最大值1和最小值-1，成立，D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题考查已知余弦函数的最值求参数，属于中档题；

方法点睛：（1）先根据题干给的条件判断周期的范围；

（2）在允许的范围内逐一代入选项验证最值，求出答案.

12. 已知向量与向量满足如下条件，其中与的夹角是的有（    ）

A. ，， B. ，

C. ， D. ，

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于AB选项，利用向量数量积的运算对已知条件进行化简，求得与的夹角，由此确定选项是否正确.对于CD选项，利用向量夹角的坐标公式求得与的夹角，由此确定选项是否正确.

【详解】由，得，则，

设向量与向量的夹角为，则，

则，那么，则A正确；

由，则，设向量与向量的夹角为，

则，则，那么，则B正确；

由，，则，，，

则，那么，则C正确；

由，，则，，，

则，那么，则D不正确．

故选：ABC

【点睛】本小题主要考查平面向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.）

13. 将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的平移和周期变换依次执行即可得答案.

【详解】函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得，

由函数图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)可得

故答案为：

14. 若扇形周长是，圆心角是度，则扇形的面积（单位）是__________.

【答案】16

【解析】

【分析】根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式即可计算出扇形的面积.

【详解】设扇形的半径为，圆心角弧度数为，

所以即，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.

15. 设为锐角，若，则的值为____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.

【详解】为锐角，， .

.

故答案为：

16. 关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点，角的终边所在射线经过点.

（1）求的值；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解.

（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解.

【详解】（1）点到原点O的距离，

由三角函数定义知

由角的终边所在射线经过点，由知，

由三角函数定义知，，

则

所以.

（2）

由三角函数定义知，，所以且

所以原式.

18. 已知向量．

（1）若有，求值；

（2）若，向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．

【答案】（1）136    （2）

【解析】

【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由代入坐标运算求出，再求即可；

（2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的情况即可得解.

【小问1详解】

由题可得：，

，

因为，所以有，

所以，解得，

故的值为136．

【小问2详解】

向量与的夹角为钝角，

首先满足，得：，所以．

其次当与反向时，，所以．

所以且，即m的取值范围是．

19. 如图：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=，E为AO的中点，（）．

（1）求；

（2）求当取最小值时，的值．

【答案】（1）24    （2）

【解析】

【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；

（2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．

【小问1详解】

，

【小问2详解】

当时，取到最小值，此时

∴

20. 已知，，．

（1）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；

（2）当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值．

【答案】（1），最小正周期为   

（2）函数单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，此时

【解析】

【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸缩平移可得及其图象性质；

（2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.

【小问1详解】

由已知得，

．

将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

所以．

所以的最小正周期．

【小问2详解】

由（1）得，当时，．

令，解得，

所以函数的单调增区间为，

所以的最大值为，此时，；

的最小值为，此时，．

21. 已知函数 的部分图像如图所示.

(1)求的解析式；

(2)设为锐角，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式和正弦公式进行化简求解．

试题解析：(1)由图可得,

.

(2)为钝角，

，

.

点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.

22. 已知函数.

（1）求函数的单调区间

（2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）增区间；（2）.

【解析】

【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解；

（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式恒成立，转化为，成立求解.

【详解】（1），

，

，

，

由于的单调增区间为，，

令，，

得：，，

∴单调增区间为，.

（2），

向左平移个单位得，

再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，

故，

不等式，

即，

，成立，

此时，，，

∴，，

当时，不等式恒成立，

当时，，

令，

设，则，

则，

所以，即，

综上，.