2022-2023学年山东省鄄城县第一中学高二下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省鄄城县第一中学高二下学期3月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为，故答案选D.
【点睛】导数可以描述任何事物的瞬时变化率.
2．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是( )
A．6，0B．32，0C．25，6D．32，16
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据导数正负判断函数的单调性，根据单调性即可求出其最值．
【详解】函数y求导得：，
∴在上，，函数y单调递增；
在上，，函数y单调递减；
在上，，函数y单调递增．
又时，
时，
时，
时，
∴函数y在[－3，3]上的最大值为32，最小值为0．
故选：B．
3．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为（ ）
A．72B．80C．90D．242
【答案】D
【分析】由分类加法计数原理与分步乘法计数原理求解即可
【详解】由题意可分三类：
第一类：取的2本书中，1本数学书，1本语文书，
根据分步乘法计数原理，有种不同的取法；
第二类：取的2本书中，1本语文书，1本英语书，
根据分步乘法计数原理，有种不同的取法；
第三类：取的2本书中，1本数学书，1本英语书，
根据分步乘法计数原理，有种不同的取法；
由分类加法计数原理可知：
从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为，
故选：D
4．若函数在处取得极小值，则（ ）
A．2或6B．3或4C．3D．2
【答案】D
【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极值，可知，解得的值，再验证可得结论．
【详解】因为，所以，
所以，解得，或，
当时，，所以，
当或时，时，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，所以，
当或时，时，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，不符合题意，
．
故选：D.
5．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法
A．180B．240C．300D．480
【答案】A
【解析】分类为①和④颜色相同和①和④颜色不同，然后，列出公式求解即可
【详解】分类：（1）①和④颜色相同：；
（2）①和④颜色不同：；
则共有60+120=180种不同的涂色方法
故选：A
6．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．
【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；
当时，，此时，，若，，
所以函数的图象可能是C．
故选：C
7．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．54种
【答案】B
【分析】据元素分析法即可解出．
【详解】若甲排在第一位，则有种排法；
若甲排在第二位，由于乙不能排在第一位，则第一位有3种排法，其他位次全排列有种排法，则共有种排法，因此编排方案共有种.
故选：B．
8．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，对其求导结合已知条件可判断在上的单调性，所要解的不等式等价于，根据单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为导函数满足恒成立且，
所以，
所以在单调递减，
因为，
所以不等式等价于，
因为所以在单调递减，
所以，
所以不等式的解集为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据已知条件，结合所要解的不等式构造函数，利用函数的单调性求解.
二、多选题
9．滿足不等式的n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】AB
【分析】利用排列数和一元二次不等式的解法求解.
【详解】解：因为，
所以，
即，
即，
焦点，
故选：AB
10．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
【答案】AC
【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.
【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
11．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（ ）
A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种
C．甲、乙不相邻的排法有82种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ABD
【分析】利用捆绑法可判断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可判断B;用插空法可判断C；先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，计算排法数，可判断D.
【详解】对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有（种），A正确；
对于B，甲在最左端时，排法有（种），乙在最左端时，排法有（种），排法共有（种），B正确；
对于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有（种），C错误；
对于D，先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有（种），D正确．
故选：ABD．
12．对于函数，下列说法正确的有（ ）．
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；
对于B，令，则可得函数的零点；
对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；
对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可
【详解】函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，
由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，
， 由时，函数为减函数知，
故成立，故正确，
若在上恒成立，
则，
设，，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
成立，故正确.
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．
三、填空题
13．从这4个数字中选出3个不同数字能组成 个三位数．
【答案】
【分析】利用排列中的特殊元素优先处理，结合排列数公式和分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由于选出3个不同数字能组成的三位数中，百位上的数字不能是，
因此可以分两步完成排列，第步，排百位上的数字，
可以从这从个数字中任选个，有种选法；
第步，排十位和个位上的数字，可以从余下的个数字中任选个，有种选法；
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.
故答案为：.
14．函数在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解即得.
【详解】因为，
所以，又，
所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
15．《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制 个名字.
【答案】
【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有种不同命名分式，即可求解.
【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有种不同命名分式，
所以还可以命制个名字.
故答案为：.
16．已知函数，若在上单调递增，则实数a的最大值是 ．
【答案】1
【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】由题意，得恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，，
当时，，递增；当时，，递减．
故，故，故实数a的最大值是1．
故答案为：1．
【点睛】思路点睛：转化为恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略.
四、解答题
17．用、、、、、这六个数字.
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；
(3)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；
（2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，
所以，数字不重复的三位数个数为.
（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，
所以，数字允许重复的三位数的个数为个.
（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；
③数字为三位数，共有个.
综上所述，数字不重复的小于的自然数个数为个.
18．设函数的图象与直线相切于点．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）求出导函数解不等式可得答案.
【详解】（1），
由题意知，解得；
（2）由（1）知，
所以，解得或，，解得．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
【点睛】关键点睛：根据函数导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键.
19．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.
（1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.
【答案】（1）元；（2）吨.
【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定处理每吨二氧化碳的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
【详解】（1）当时，设该工厂获利为，则，
所以当时，，因此，该工厂不会获利.
所以国家至少需要补贴元，才能使工厂不亏损；
（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：.
①当时，所以 ，
因为，所以当时， ，为减函数，当时， ，为增函数，
所以当时， 取得最小值；
②当时，.
当且仅当时，即时， 取最小值.
因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少.
【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查导数与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用捆绑法可求解；
（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；
（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.
【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
21．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)讨论函数单调性．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为；函数的极小值，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；
（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对的取值范围进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）当时，，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得极小值，无极大值．
（2），
则，
当时，，则单调递减；
当时，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
22．已知函数，．
（1）记的极小值为，求的最大值；
（2）若对任意实数恒有，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）先求出函数极小值，再利用导数求的最大值；
（2）对分两种情况讨论，当时，，恒成立，当时， ，再求函数的最小值得解.
【详解】（1）定义域为，，
令，得，∴的单调递增区间是，
令，得，∴的单调递减区间是，
则在处取极小值，
极小值，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
∴是函数在上唯一的极大值点，也是最大值点，
∴；
（2）当时，，恒成立，
当时，，即，即，
令，，，
当时，，当时，，故的最小值为，
∴，故实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：研究参数的问题，常用的方法有：（1）分离参数法（分离参数比较方便）；（2）分类讨论法.本题使用的是分离参数，简洁高效.