山东省菏泽市鄄城县第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题

这是一份山东省菏泽市鄄城县第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年鄄城县第一中学第二学期6月份数学考试
高二数学试题
（满分：150分 时间：120分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知随机变量的分布列是

1
2
3




则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数和为（ ）
A． B． C． D．
4．某公司在年的收入与支出情况如下表所示：
收入（亿元）
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
支出（亿元）
0.2
1.5
2.0
2.5
3.8
根据表中数据可得经验回归方程为，依此估计该公司收人为8亿元时的支出为（ ）
A．4.2亿元 B．4.4亿元 C．5.2亿元 D．5.4亿元
5．小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为（ ）
A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959
6．如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）

A．780 B．840 C．900 D．960
7．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得数学成绩，则估计该班数学成绩大于120分的学生人数为（参考数据：）（ ）
A．16 B．10 C．8 D．2
8．已知，且且且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在一元线性回归模型中，决定系数越接近于1，说明回归的效果越好
10．一盒中有7个乒乓球其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中记盒中已使用过的球的个数为，则（ ）
A．的所有可能取值是3，4，5 B．最有可能的取值是5
C．等于3的概率为 D．的数学期望是
11．若，则（ ）
A． B．
C．除以4的余数为1 D．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知盒中装有3个红球，2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
14．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________种．
15．小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为，若，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________．
16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，17题10分，18题~22题每小题12分，共70分）
17．（10分）
已知函数，求函数在区间上的最小值．
18．（12分）
某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与、体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校随机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表．
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1
（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为，求；
（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为，求的数学期望．
19．（12分）
为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表：
的浓度
空气质量等级



1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”，若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
（1）估计事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率；
（2）完成下面的列联表．

的浓度
合计


空气质量好



空气质量不好



合计



（3）根据（2）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天的浓度有关？
附：，其中．

0.05
0.025
0.010
0.001

3.841
5.024
6.635
10.828
20．（12分）
某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛有三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得0分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分，已知小康同学能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小康按照的顺序答题，记为小康的累计得分，求的分布列；
（2）相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．
21．（12分）
数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：
科技投入
1
2
3
4
5
6
7
收益
19
20
22
31
40
50
70
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理如下表：






5
140
1239
149
2134
130
其中．
（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1）；
（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得经验回归方程为，以及该回归模型的决定系数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投人的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）
附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，
，决定系数：．
参考数据：．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
高二数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D [，所以在点处的切线斜率为．]
2．C [由分布列的性质可得，解得，所以，因此．]
3．A [由题知，由组合数性质得，则．令，则的展开式各项系数和为．]
4．C [根据题表中的数据，
得，
，
，
∴经验回归方程为，
当时，（亿元），
即该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元．]
5．B [由题意，小明没有迟到的概率为．]
6．D [先涂，则有5种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有4种涂法，同理有3种涂法，有4种涂法，有4种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．]
7．C [由题意如，该班学生数学成绩呈正态分布，其中数学期望，方差，所以估计该班数学成绩大于120分的学生人数为．]
8．D [三个等式可变形为．
．
同理．
构造函数，
则．
当时，为减函数；
当时，为增函数，
，而，故．
同理，．
，
．]
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．CD [A中，因为，所以变量增加一个单位时，平均减少5个单位，故A错误；B中，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故B错误；C中，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；D中，在一元线性回归模型中，决定系数越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确．]
10．AC [记未使用过的乒兵球为，已使用过的为，任取3个球的所有可能是使用后成为，故的所有可能取值是3，4，5，故A正确；，所以最有可能的取值是4，故B错误，C正确；，故D错误．]
11．ACD 将变形为．
根据二项展开式的通项公式，可得，故A正确；
令，可得，
再令，可得，所以，故B错误；
令，可得，①
再令，可得，②
①②两式相加再除以2，可得，
故除以4的余数为1，故C正确；
将
两边对变量求导：，
令，可得，故D正确．
12．ABC [由，得，
，故A正确；
，
当时，，
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
又，
且当时，时，
，
的图象如图所示，

由图知C正确，D不正确．]
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． [设“第一次拿到白球”为事件，“第二次拿到红球”为事件，
依题意，故．]
14．86 [由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为，
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为．]
15． [由题可知该产品每年为正收益的概率为，则小赵购买该产品4年、恰好有2年是正收益的概率为．]
16． [，
令，得，
设，
则，
令，
则，
在上单调递减且，
∴当时，，
即在上单调送增；
当时，，
即在上单调递减，
故，
而当时，，
当时，，
若有两个极值点，只要和的图象在上有两个交点，
只需，故．]
四、解答题（本共6小题，17题10分，18题~22题每小题12分，共70分）
17．解 ，
则， 1分
由，得．
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增． 3分
（1）当，即时，在上单调递增，
所以的最小值为． 5分
（2）当，即时，
在上单调递减，
在上单调递增，
所以的最小值为． 7分
（3）当，即时，
在上单调递减，
所以的最小值为． 9分
综上，当时，的最小值为0；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为． 10分
18．解 （1）根据题意，这60名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为，
成绩等级为合格或不合格的人数为42．
则． 5分
（2）从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的3名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为，则服从二项分布 7分
由题意得从这60名学生中任取1名学生，耐力跑测试成绩等级为优或良的频率为， 8分
将样本频率视为概率得．
根据二项分布的均值公式得．
根据题意得， 10分
所以的数学期望为． 2分
19．解 （1）由表格可知，该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150天的天数为，则“该市一天的空气质量好，且的浓不超过150的概率． 3分
（2）由表格数据可得到列联表如下：

的浓度
合计


空气质量好
46
10
56
空气质量不好
24
20
44
合计
70
30
100
（3）零假设为：该市一天的空气质量与当天的浓度无关． 7分
由（2）知， 10分
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，因此可以认为不成立，即认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关． 12分
20．解 （1）由题意可知，的所有可能取值为0，30，50，60， 1分
，
，
，
．
故的分布列为：

0
30
50
60

0.6
0.16
0.048
0.192
6分
（2）由（1）可知， 7分
若按照顺序答题，记为小康答题的累计得分，
则所有可能取值为0，10，30，60， 8分
，
．
，
，
故，
则小乐的判断正确． 12分
21．解 （1）将两边取对数得，令，则，
，∴根据最小二乘估计可知， 2分
， 4分
∴回归方程为，
即 6分
（2）①甲建立的回归模型：．
∴甲建立的回归模型拟合效果更好． 9分
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．令，
即，
解得．∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿元． 12分
22．（1）解 ， 1分
当时，，
所以在上单调递增； 3分
当时，令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减． 5分
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减． 6分
（2）证明 设函数，
则，
可知在上单调递增．
又由知，在上有唯一实数根，且，
则，即． 8分
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以， 10分
结合，知，
所以
，
则，
即不等式恒成立． 12分