2022-2023学年广东省汕尾市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省汕尾市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【分析】由等差数列的性质得到，从而求出公差，得到答案.

【详解】由等差数列的性质可知，

又，故，

设等差数列的公差为，则，

所以.

故选：C

2．已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先将点代入函数求得切点(1，3)，根据导数性质可得切线斜率k=5，利用直线方程点斜式可求得切线方程.

【详解】 点位于函数上，

∴将x=1代入原函数得到=3,切线过点(1，3)，

，∴切线斜率，

∴切线方程为，即，

故选：B.

3．5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（    ）

A．5 B．10 C．60 D．120

【答案】A

【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，最后计算组合数计算即可．

【详解】因为5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，

所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，又因为无座票，所以没有顺序，

所以共有种不同的分法．

故选：A.

4．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.

【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，

，

于是，递减；，递增，

所以是极小值点，于是在，只可能使得最大.

故选：D

5．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

6．的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为（    ）

A．84，21 B．21，84 C．35，280 D．280，35

【答案】A

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的展开式中第3项，即可求解.

【详解】因为的展开式中第3项为，

所以的展开式中第3项的系数为，

的展开式中第3项的二项式系数为.

故选：A

7．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知甲、乙能破译密码的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先结合独立事件概率的乘法公式求出密码未被成功破译的概率，进而根据对立事件的概率和为1即可求出结果.

【详解】结合独立事件概率的乘法公式可得密码未被成功破译的概率，

则根据对立事件的概率和为1，可知密码被成功破译的概率为.

故选：D.

8．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】由已知条件构造函数，求导后结合已知可得在上为增函数，从而可比较出大小

【详解】，，

设，则，

则在上为增函数，

对于A，因为，所以，

即，得，所以A错误，

对于B因为，所以，

即，得，所以B错误，

对于C，因为，所以，

即，得，所以C错误，

对于D，因为，所以，

即，得，所以D正确，

故选：D．

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．向量与的夹角为

C．若，则是与垂直的单位向量

D．向量在向量上的投影向量为

【答案】AD

【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的模、夹角余弦值、验证向量垂直、投影向量主项判断即可得结论.

【详解】因为向量，，

则，故A正确；

，又，所以向量与的夹角为，故B不正确；

若，则，则与不垂直，故C不正确；

向量在向量上的投影向量为，故D正确.

故选：AD.

10．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（    ）

A．

B．被调查的100户居民用户的月平均用电量估计为

C．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70

D．被调查的100户居民用户的月用电量数据的60%分位数估计为200

【答案】ACD

【分析】根据频率分布直方图的性质，可判定A正确；根据平均数的计算公式，可判定B正确；根据频率分布直方图求得用电量落在区间内的频率，进而可判定C正确；结合频率分布直方图的百分位数的计算方法，可判定D正确.

【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得：

，解得，所以A正确；

对于B中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：

（度），所以B不正确；

对于C中，用电量落在区间内的频率为，

所以用电量落在区间内的户数为户，所以C正确；

对于D中，因为，

所以被调查的100户居民用户的月用电量数据的60%分位数估计为，所以D正确.

故选：ACD.

11．已知，则下列说法正确的有（    ）

A．函数有唯一零点

B．函数的单调递减区间为

C．函数有极小值

D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是

【答案】AD

【分析】根据零点的定义判断，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断B,C,D．

【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，故A正确；

由题意可知：，

当时，，则，

当时，，递增；当时，，递减，

则此时的极大值为；

当时，，，在上单调递减，

由此可作出的图象如下：

观察图象可得函数的单调递减区间为，，错，

函数在时有极大值错误，

若关于x的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，正确，

故选：．

12．已知数列满足（且），则下列说法正确的是（    ）

A．，且

B．若数列的前16项和为540，则

C．数列的前项中的所有偶数项之和为

D．当n是奇数时，

【答案】ACD

【分析】A选项，赋值法求解即可；B选项，先得到，求出数列的前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到，从而得到，求出答案；C选项，在B选项的基础上得到，从而利用等差数列求和公式求解；D选项，在B选项基础上得到，令可得答案.

【详解】A选项，中，令得，

令得，A正确；

B选项，中，令得，

所以，，，，

相加得，

因为数列的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为，

中，令得，

所以

，

故

，

解得，B错误；

C选项，由B选项可知，

的前项中的共有偶数项项，故最后两项之和为，

所以数列的前项中的所有偶数项之和为，C正确；

D选项，由B选项可知，令，则，

故

故当n是奇数时，，D正确.

故选：ACD

【点睛】当遇到时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.

三、填空题

13．已知复数是关于x的方程的一个根，则        ．

【答案】0

【分析】根据复数是方程的根，代入方程由复数相等列方程可得的值.

【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，

所以，整理得，所以，

则.

故答案为：.

四、双空题

14．某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人．为了获得该校全体学生的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），经计算得到男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30．根据以上数据，估计该校全体学生身高的均值为        ；估计该校全体学生身高的方差为        ．

【答案】     167     40

【分析】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人，

可得总体的均值为，

总体的方差为.

故答案为：；.

五、填空题

15．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为   ．

【答案】6

【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.

【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，

设△ABC的面积为S，则S梯形S，

水的体积V水S×AA1＝6S，

当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，

则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，

即当底面ABC水平放置时，液面高为6．

故答案为：6．

16．如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为        ．

【答案】

【分析】因为是的中点，得到，设，所以，根据三点共线，求得，得到，得到，

延长于，使得，延长于点，使得，结合相似，求得得到为等腰三角形，且，得出，进而取得的面积的最大值.

【详解】因为是的中点，可得，

设，所以，

因为三点共线，所以，解得，所以

所以，所以，所以，所以，

延长于，使得，延长于点，使得，如图所示，

则，且相似比为，所以,

所以，所以，所以，所以，

因为，所以，

所以为等腰三角形，且，所以，

因为，所以，

所以.

所以的面积的最大值为.

【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：

（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；

（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.

六、解答题

17．2022年4月16日，3名中国宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念．求：

(1)3名宇航员互不相邻的概率；

(2)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，即可计算3名宇航员互不相邻的方法数，再根据古典概型概率公式即可求解；

（2）分2名航天科学家之间有3名宇航员、2名航天科学家之间有2名宇航员两种情况计算即可.

【详解】（1）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，∴一共有（种）排法．

∵5人排成一排一共有（种）排法，

∴3名宇航员互不相邻的概率为．

（2）①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，，    

②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，    

故，

∴2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率为

18．记的内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解；

（2）利用余弦定理及面积公式求出、，即可得解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，，为外接圆的半径，

∴．    

∵，∴．    

又，∴．

（2）由（1）知，又∵，

由余弦定理，得①，    

由题意知，即②，

联立①②得，所以，故．

19．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去．

(1)求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；

(2)假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可得正方形面积依次排成一列，构成等比数列，再利用等比数列前n项和公式求解作答.

（2）由（1）中信息，利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）正方形边长为1，正方形边长为，因为任意两个正方形是相似的，其面积的比是边长的平方比，

因此从正方形开始，所作各正方形面积依次排成一列得等比数列，其首项为1，公比为，

所以连续10个正方形的面积之和.

（2）由（1）知，数列为等比数列，，，有，

则，

于是，

两式相减得，

所以.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.

(1)求证：平面EDB；

(2)求证：平面EFD；

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为，由证明；

（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明；

（3）求得平面CPB的一个法向量为，易知平面PBD的一个法向量为，由求解.

【详解】（1）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别

为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设.

依题意得，，，.

所以，，.

设平面EDB的一个法向量为，

则有即

取，则，

因为平面EDB，因此平面EDB.

（2）依题意得，

因为，

所以.

由已知，且，

所以平面EFD.

（3）依题意得，且，.

设平面CPB的一个法向量为，

则即，

取.

易知平面PBD的一个法向量为，

所以.

所以平面CPB与平面PBD的夹角为.

21．已知抛物线过点（）．

(1)求C的方程；

(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程；

（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.

【详解】（1）∵抛物线过点，

∴．

又∵，∴，

上故的方程为．

（2）设，，

由（1）知，抛物线的焦点为，

∵直线的斜率为，且过点，

∴直线的方程为，    

联立得，则．    

∴，

故线段的长度为．

22．某中学科技创新教研组为了研制飞机模型的自动着陆系统，技术人员需要分析飞机模型的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机模型着陆点为坐标原点O．已知飞机模型开始降落时的飞行高度为10m，水平飞行速度为，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于保持机身结构稳定的考虑，飞机竖直方向的加速度的绝对值不得超过（此处是重力加速度）．若飞机模型在与着陆点的水平距离是时开始下降，飞机模型的降落曲线是某三次多项式函数（）图象的一部分，飞机模型整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机模型开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题：

(1)确定该飞机模型的降落曲线方程；

(2)求开始下降点所能允许的最小值（精确到0.1，）．

【答案】(1)，

(2)7.7．

【分析】（1）根据降落曲线过点，求得，求得，列出方程组，求得，即可求解；

（2）根据题意求得y与t的函数关系式为，，根据导数的意义得到竖直方向的下降速度，求得，求得，列出不等式，即可求解.

【详解】（1）解：因为降落曲线（）过点，

所以 ，则，可得，

由题意知，则，解得，

所以该飞机模型的降落曲线方程为，．

（2）解：因为飞机模型水平方向匀速飞行，且飞行速度为，

所以飞机模型经过降落时间后与着陆点的水平距离为，

故竖直高度y（单位：m）与降落时间t（单位：s）的函数关系式为：

，，

由导数的物理意义知，飞机模型的竖直方向的下降速度，

竖直方向的加速度，，    

所以当或时，竖直方向加速度的绝对值达到最大值，且，

由题意知，

因为，解得，

所以开始下降点所能允许的最小值约为7.7．