2022-2023学年广东省汕头市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省汕头市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求两集合的交集.

【详解】由，得，解得，

所以，

由，得，解得，

所以，

所以，

故选：C

2．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对化简求出复数，再求出其共轭复数，从而可求出的共轭复数的虚部.

【详解】由，得，

所以，

所以的共轭复数的虚部为，

故选：D

3．已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算向量与向量的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.

【详解】根据题意，得，

所以，

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故选：C

4．一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为2和4，则该圆台的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出上下底面圆的半径，进而求出高线，利用圆台体积公式进行求解.

【详解】设圆台上底面圆半径为，则，解得：，

设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，

圆台的母线长为4-2=2，

画出圆台，如下：

过点D作DE⊥AB于点E，则，

由勾股定理得：，

所以圆台的体积为.

故选：D

5．已知数列的通项公式为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意化简得到，结合计算规律，准确计算，即可求解.

【详解】因为数列的通项公式为，且的周期为，

可得

，

又因为，

所以.

故选：A.

6．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（  ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种

所以每位同学的不同选修方式有种，

故选：B.

7．已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ）

A． B．4 C．8 D．

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解.

【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，

则，

如图：

当点P在位置M时，取到最大值，

当点P在位置N时，取到最小值，

所以的取值范围是，即，

所以的最大值，最小值，

所以.

故选：C.

8．已知函数，，若，，则的最大值为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.

【详解】由题意得，，，即，

令函数，则，

所以，时，，在上单调递减，

时，，在上单调递增，

又当时，，时，，

作函数的图象如图所示.

由图可知，当时，有唯一解，故，且，

∴.设，，则，

令解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

∴，即的最大值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.

二、多选题

9．对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（    ）

A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好

B．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点

C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系

【答案】BD

【分析】利用残差平方和的含义判断选项A，由回归方程必过样本中心判断选项B，由相关系数的含义判断选项C，D．

【详解】解：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；

因为回归方程必过样本中心，故选项B正确；

因为系数越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；

由相关系数为负且接近1，则和之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．

故选：BD．

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数最大值为1

B．函数在区间上单调递增

C．函数的图像关于直线对称

D．函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像

【答案】AD

【分析】由题可得，然后利用正弦函数的性质及三角函数图象变换逐项判断即得.

【详解】∵函数，

∴，

当时，函数取得最大值1，A正确；

令，当时，，在区间上不单调递增，故B错误；

当时，，函数的图像不关于直线对称，C错误；

函数的图像向右平移个单位得到函数，D正确．

故选：AD.

11．已知双曲线和圆，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．当时，双曲线与圆没有公共点

D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断D.

【详解】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确；

双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误；

因为圆心到双曲线的渐近线的距离，

所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确；

设双曲线上的点的坐标为，，则圆心到点的距离为

，当且仅当时取等号，

所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为，

所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确．

故选：ACD

12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（    ）

A．三棱锥体积的最大值为

B．存在点M，使平面

C．点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值

D．存在点M，使直线与所成的角为

【答案】ABC

【分析】根据题意以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断A选项.根据线面平行的判定定理判断B即可求解.

【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设，

则,

由是棱上的动点，设，

,因为底面为正方形，故,

又底面所以,

又,所以底面,所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故A对.

当为中点时，是的中位线，所以，又平面，

平面，所以平面，故B正确；

点到平面的距离，点到平面的距离

,所以，故C正确.

,,若存在点，使直线与所成的角为30°

则，化简得，无解，

故D错误；

故选：ABC

三、填空题

13．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为         ．（用数字作答）

【答案】

【分析】根据所有奇数项的二项式系数和为求出，再根据二项展开式的通项即可求出常数项.

【详解】由题意及二项式系数的性质可得，解得，

所以其展开式的通项为，

依题意令解得，

所以展开式中的常数项为，

故答案为：

14．已知，则      ．

【答案】

【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．

【详解】已知，，

则，

故答案为．

【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．

15．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为          .

【答案】2

【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.

【详解】设是图像上的一点，，

所以在点处的切线方程为，①，

令，解得，

，所以，

，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），

所以，此时①可化为，

所以.

故答案为：

16．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【详解】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），

则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时， ，对任意的正整数，

当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.

点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.

四、解答题

17．在中，为上一点，，，.

（1）若，求外接圆的半径；

（2）设（为锐角），若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由余弦定理可求出，再根据正弦定理即可求出；

（2）由题意可知，由平方关系求得，设，在中由余弦定理即可求出的值，由正弦定理可求得，再根据三角形的面积公式即可求出．

【详解】（1）由余弦定理得，解得；

又，解得；∴外接圆的半径为.

（2）由，所以，所以；

由，得；

设，则，，

在中，，，，，

由余弦定理得，解得；

所以，；

由正弦定理，即，解得；

所以，即的面积为.

18．已知正项数列的前n项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；

（2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.

【详解】（1）①，

当时，②，

①-②得，

整理得，，

，

又当时，，解得，

数列是以2为首项，2为公差的等差数列，

；

（2）由（1）得，

，

，即

.

19．如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析;

(2)．

【分析】（1）证明出，从而可证明平面，然后可得证面面垂直；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的向量法求得的长，再由线面角的向量法求得结论．

【详解】（1）由题意，，∴，，

平面，平面，∴，

，平面，∴平面，

平面，∴平面平面；

（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，，

则，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

平面的一个法向量为，

所以，解得，

∴，又，

，

∴直线与平面所成角的正弦值．

20．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；

(2)；

(3)分布列见解析，.

【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；

（2）根据条件概率公式计算即可；

（3）分层抽样后运用超几何分布求解.

【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.

据表中数据计算得：

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；

（2）∵，

∴估计的值为；

（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.

，，

，，

∴的概率分布列为：

∴数学期望.

21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.

(1)求曲线和曲线的标准方程；

(2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.

【答案】(1)，

(2).

【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解，

（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值.

【详解】（1）椭圆，

又,

椭圆,

抛物线

（2）因为直线斜率不为0，设为，

设，联立

整理得，.

所以，

所以，

，

设四边形的面积为，

则，

令，再令，

则在单调递增，

所以时，，

此时取得最小值4，所以.

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用

22．已知函数，．

（1）若的最大值是0，求的值；

（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）1；（2）．

【解析】（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.

（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出的取值范围.

【详解】解：（1）∵的定义域，．

若，，在定义域内单调递增，无最大值；

若，，单调递增；，单调递减．

∴时，取得最大值，∴．

（2）原式恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则，

设，

则，

所以在上单调递增，且

，．

所以有唯一零点，且，

即．

两边同时取对数得，易知是增函数

∴，即．

由知

在上单调递增，在上单调递减．

∴，

∴，∴

故的取值范围是．

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.

思路点睛:本题考查用导函数研究原函数性质的方法，是常见题.不等式恒（能）成立求参数范围的一般方法:

①当时，成立，则；

②当时，成立，则