2022-2023学年河北省承德市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省承德市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．关于样本相关系数，下列结论正确的是（    ）

A．越接近0，成对样本数据的线性相关程度越强

B．值越大，成对样本数据的线性相关程度越强

C．，成对样本数据正相关

D．，成对样本数据不相关

【答案】C

【分析】根据样本相关系数与线性相关程度的关系判断即可.

【详解】越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，故A错误；

越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故B错误；

，成对样本数据正相关，故C正确；

，成对样本数据负相关，故D错误．

故选:C.

2．已知，则（    ）

A．12 B．9 C．6 D．4

【答案】D

【分析】根据题意，由二项分布的期望公式即可得到，再由期望的性质即可得到结果.

【详解】因为，则，

所以．

故选：D

3．甲、乙两位同学从5本不同的课外读物中各自选读1本，则这两人选读的读物不同的选法有（    ）

A．9种 B．10种 C．15种 D．20种

【答案】D

【分析】利用分步乘法计数原理求解.

【详解】解：由分步乘法计数原理知，不同的选法有种.

故选：D

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对于ACD，举例判断，对于B，利用作差法分析判断

【详解】对于A，若，则，因为，所以，所以A错误，

对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确.

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，若，则，所以D错误，

故选：B

5．已知函数，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．无最小值

【答案】A

【分析】先求导，令，求出，从而得到，讨论函数单调性，得到最值.

【详解】因为，所以，则，

解得，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故的最小值为，无最大值．

故选：A.

6．展开式的常数项为（    ）

A．924 B． C．252 D．

【答案】A

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

【详解】，展开式的通项.

由，得，则展开式的常数项为.

故选：A

7．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据函数的图象得出在相应区间内的符号，从而得出答案.

【详解】由图可知，当时，；当时，；

当时，；当时，．

故极值点的个数为2．

故选：C

8．已知有编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个2号球，两个3号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下（    ）

A．第二次取到1号球的概率最大

B．第二次取到2号球的概率最大

C．第二次取到3号球的概率最大

D．第二次取到号球的概率都相同

【答案】B

【分析】分别计算出两次取球编号不同的条件下，第二次取到1号球，2号球，3号球的概率，比较大小即可.

【详解】两次取球编号不同的条件下，第二次取到1号球的概率；

两次取球编号不同的条件下，第二次取到2号球的概率；

两次取球编号不同的条件下，第二次取到3号球的概率.

故两次取球编号不同的条件下，第二次取到2号球的概率最大.

故选：B

二、多选题

9．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（    ）

A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势

B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势

C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化

D．若在某一时期内，则这期间人口数不变

【答案】ABD

【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】由，得当时，，

因为，所以，对任意的，，

所以，，则，

此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对；

对于B选项，当时，，

因为，所以，对任意的，，

所以，，则，

故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对；

对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错；

对于D选项，当时，，

故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.

故选：ABD.

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】运用赋值法，分别令，令，令，然后逐项判断；

【详解】令，则，选项A错误；

令，则，则，选项B正确；

令，则，则，

则，，

从而，选项CD正确；

故选：BCD.

11．已知，且，则（    ）

A．的最小值是

B．的最小值是4

C．的最小值是8

D．的最小值是

【答案】BC

【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D.

【详解】因为，且，所以，

所以，当且仅当时，等号成立，则A错误；

由题意可得，

当且仅当时，等号成立，则B正确；

因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；

由题意可得，此时，．

因为，所以不存在，使得，则D错误．

故选:BC.

12．已知，，且，则下列等式可能成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】令，根据导数工具证明，把条件可转化成，然后再根据的单调性来判断.

【详解】令，则.

令，则.，

当时，，则恒成立，故在上单调递增.

因为，所以，即在上恒成立，在上单调递增，

当时，，即，

从而.

令，，则在上单调递增，则

故选：CD

三、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为        .

【答案】

【分析】根据导数的几何意义结合题意直接求解即可

【详解】因为，所以.

则，，

所以的图象在处的切线方程为.

故答案为：

14．一次函数在上单调递增，且，则        .

【答案】

【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决.

【详解】设，则，

，

则.又在上单调递增，即，

所以，，则.

故答案为：

15．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是        .

【答案】360

【分析】由题意可知分三种情况求解：6支救援队按1，1，4分成3组，6支救援队按1，2，3分成3组，6支救援队按2，2，2分成3组，每一种情况求解后利用分类加法原理求解即可.

【详解】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是，

若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是，

若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是，

所以由分类加法原理可知不同的安排方法种数是.

故答案为：360

四、双空题

16．已知函数是定义域为的奇函数，则        ，关于的不等式的解集为        ．

【答案】     1    

【分析】根据题意，由函数为奇函数即可得到，然后求导即可得到，从而得到其单调性，由函数的单调性即可求解不等式.

【详解】因为是奇函数，所以，

则由的任意性可得，

所以，则．

因为，所以，则在上单调递减．

由，得，

则，解得．

故答案为：；.

五、解答题

17．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表:

在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.

(1)求p，q的值;

(2)依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关?

附:χ2=，n=a+b+c+d.

【答案】(1)p=180，q=120

(2)学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

【分析】（1）根据题设条件，建立的方程组即可求出结果；

（2）通过计算出，即可判断出结果.

【详解】（1）由题可知，解得.

（2）零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

根据列联表及（1）中数据，经计算得到

，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

18．已知函数，且．

(1)求的定义域；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，先由条件可得，然后列出不等式即可得到结果；

（2）根据题意，由函数的单调性，列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1），

则，解得，

则，

则，解得，

故的定义域为．

（2）由（1）知，．

因为函数在上单调递增，所以在上单调递增．

又，所以等价于，解得．

则不等式的解集为．

19．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如146，369，567等）.

(1)从1，2，3，4，5这五个数中，任取三个数组成一个三位递增数，求这个数能被5整除的概率.

(2)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积既不能被3整除，又不能被5整除，参加者得0分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已知甲参加该活动，求甲得分X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）根据题意可知，任选三个数，则顺序就一定，则根据古典概型和组合的知识求解即可；

（2）根据题意知X的可能取值为0，1，2，分别判断可能情况然后求出各种情况的概率，结合期望公式计算即可.

【详解】（1）从1，2，3，4，5这五个数中：

任取三个数组成的三位递增数（选出后，顺序已定），共有个，

若这个数能被5整除，则个位数为5，共有个，

故所求的概率

（2）X的可能取值为0，1，2.

所有的三位递增数共有个.

若，则该三位递增数中不能含有数字3，5，6，9，

满足条件的三位递增数有个，故.

若，则该三位递增数中有数字5且没有数字3，6，9或至少有数字3，6，9中的1个且没有数字5，

满足条件的三位递增数有个，故

若，则该三位递增数中有数字5且至少有数字3，6，9中的1个，

满足条件的三位递增数有个，故

X的分布列为

20．已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2).

【分析】（1）根据题意，求导即可得到其极值；

（2）根据题意，将极值点转化为函数零点问题，然后利用导数研究，即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以，.

令，得或，且当时，，

当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.

从而的极小值为，无极大值.

（2）因为，所以.

因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点.

令，则，

显然在上单调递增，且，所以在上恒成立，

则在上单调递增.

要使在上恰有一个变号零点，则，

即，故的取值范围为.

21．“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.

(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数，样本分数的方差.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数.

参考公式：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

参考数据：.

【答案】(1)分布列见解析；

(2)159

【分析】（1）由题意得到X的所有可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望；

（2）根据题意得到，，再求得即可.

【详解】（1）解：由题意可知这100人中得分不低于90分的人数为，则X的所有可能取值为0，1，2，

，，.

X的分布列为

故.

（2）由题可得，

，

则.

故该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数为.

22．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，证明：有且只有一个零点，且.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（l）根据导函数正负求出单调性，结合单调性解不等式即可；

（2）结合函数单调性及极值,先应用零点存在定理证明存在，再应用单调性证明唯一零点，进而证明不等式.

【详解】（1）因为，所以，恒成立，

所以在上单调递增.

又，所以不等式的解集为.

（2），则,

令，得或.

因为，所以.

当时，；当时，.

故的单调递增区间为和，单调递减区间为.

，.

令，则，

显然当时，，单调递减，则，

即，从而.

故在上不存在零点，

当时，易证得,

单调递减，

单调递增，

单调递增，

，从而，

则，，

由零点存在定理可得有零点，，单调递增，

故有且只有一个零点，且，则.

【点睛】关键点点睛：解题的关键是对零点存在定理的应用，结合函数的单调性可证明函数零点的唯一性.