2022-2023学年河北省唐山市冀东名校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省唐山市冀东名校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求集合A，再根据并集计算即可.

【详解】解不等式，即，而，所以.

故答案为：A

2．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数的定义求解作答.

【详解】依题意，，

所以的共轭复数.

故选：C

3．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；

对于B，，的定义域为，

为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；

对于C，，的定义域为，

又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；

对于D，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.

故选：D.

4．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．在上单调递增

B．在上单调递减

C．在处取得最大值

D．在处取得最小值

【答案】B

【分析】根据导函数的正负与原函数的单调性，即可结合选项逐一求解.

【详解】根据导函数图象，可知当单调递减；当单调递增；当单调递减；当单调递增.在处取得极大值，不一定最大值；在处取得极小值，不一定最小值，故ACD错误，

故选：B.

5．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.

【详解】函数的定义域为，

且，即是偶函数，

当时，，

构造，，

令，则在上单调递增，又也是增函数，

则在上单调递增，

又是定义域内的增函数，故在上单调递增，

不等式等价于，

即，平方得：，解得且，

则不等式的解集为.

故选：B.

6．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.

【详解】由得，，当时，，

∴在单调递减，∴是函数的最小值，

当时，为增函数，∴是函数的最小值，

又∵，都，使得，

可得在的最小值不小于在的最小值，

即，解得，

故选：A．

7．三个数，，的大小顺序为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，从而得出，，的大小顺序．

【详解】设，，

时，，

在上单调递减，

又，，且

,

．

故选：A

8．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　）

A． B．2 C．4

【答案】B

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】，

等号成立条件是，即时取等号，

即当且仅当时取等号，

所以ab的最大值是2.

故选：B.

二、多选题

9．若函数的单调递增区间为，则可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先求定义域，再求导，令导函数大于0求出递增区间.

【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误；

B选项，定义域为，

，令，解得，

所以单调递增区间为，B正确；

C选项，定义域为，

，令，解得或，

所以单调递增区间为，，C错误；

D选项，定义域为，

，令，解得，

故单独递增区间为，D正确.

故选：BD

10．已知函数，，，函数的图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则（    ）

A．为定值 B．为定值

C．直线的斜率取值范围是 D．的取值范围是

【答案】ACD

【分析】结合导数的几何意义可得，即可判断AB；结合基本不等式可判断C；结合直线方程及两点间距离公式可得，化简可判断D.

【详解】当时，，导数为，

可得在点处的斜率为，

切线AM的方程为，

令，可得，即，

当时，，导数为，

可得在点处的斜率为，

令，可得，即，

由的图象在A，B处的切线相互垂直，可得，

即为，故A正确，B错误；

直线的斜率，

因为，所以上面不等式中的等号不成立 ，故C正确；

，

，故D正确.

故答案为：ACD.

11．已知，则（    ）

A．为奇函数

B．在上单调递减

C．值域为

D．的定义域为

【答案】ACD

【分析】对于,利用奇函数的定义即可判断；对于可以利用减函数的定义进行判断；对于可利用分离常数法进行求解；对于可利用定义域的性质进行求解.

【详解】对于,由，得所以函数的定义域为，

又所以为奇函数，故正确；

对于设，

则，

因为，所以当时，

所以

则，不符合单调递减函数的定义，故错误；

对于因为，

又且，所以，

则，故正确；

对于由以上项分析函数的定义域为且，故的定义域为,故正确；

故选：

12．设为自然对数的底数，函数，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，无极值点 B．当时，有两个零点

C．当时，有1个零点 D．当时，无零点

【答案】AD

【分析】对函数求导，对其单调性、极值及零点进行分析即可求解.

【详解】，则.

令，得，；

当时，，在恒成立，

在定义域上单调递增，不存在极值点，故A正确；

当时，，在与为正，在为负，

故有极大值，有极小值，

此时的极大值小于0，故最多存在一个零点，故B错误；

当时，的极小值大于0，当时，，没有零点，故C错误；

当时，在为负，在为正，

所以在单调递减，在单调递增；

，此时无零点，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值为          .

【答案】/

【分析】先利用指数的运算与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为，所以，即，

则，所以，

又，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

则的最小值为.

故答案为：.

14．命题“，”为真命题的充要条件是        .

【答案】

【分析】原命题等价于使，求在上的最大值即可.

【详解】原命题可写为“，”，

当时，随增大而增大，则时，取最大值为3，所以.

故答案为：

15．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解.

【详解】当时，则，

所以，即，

当时，则，

所以，即，

则，

当时，则，

所以，即，

画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

16．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为      .

【答案】

【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，

结合独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】分两种情况讨论：

（1）第一局甲胜，第二局乙胜：

第一局甲执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，

第一局乙执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，

所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；

（2）第一局乙胜，第二局甲胜：

第一局甲执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，

第一局乙执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，

所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.

综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.

故答案为：

四、解答题

17．设集合.

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式得集合A，然后分和讨论可解；

（2）利用数轴分析即可求解.

【详解】（1），

因为，所以，

当时，则，故符合题意，

当时，则，可知，即，

综上可知，.

（2）或，

因为中只有一个整数，因此该整数为3，

如图，      

由，所以，所以.

18．已知函数且.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若，当时，求的值域.

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)

【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论；

（2）根据可求得，从而化简得到，可利用不等式的性质或者函数单调性求得的范围，进而确定的值域.

【详解】（1）为奇函数，理由如下：

由得：，的定义域为；

，为定义在上的奇函数.

（2），，

；

方法一：当时，，，，

，即的值域为；

方法二：令，

在上单调递减，，，

，，即的值域为.

19．已知函数.

(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；

(2)令，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，利用导数以及直线的点斜式方程求解.

（2）对函数进行求导，通过导数的正负确定函数的单调性，从而求出函数的最值，证明不等式即可.

【详解】（1）∵，∴在处的切线的斜率为.

又在曲线上，在处的切线过原点，

∴，解得.

∴切线的方程为，即.

（2）证明：∵，

∴，

由有：，由有：，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的最大值为，

∴.

20．“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”．一机构为了解成年人对这种说法的态度（态度分为同意和不同意），在某市随机调查了200位成年人，得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？

(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该市成年人中，随机抽取3人了解其对该说法的态度，记抽取的3人中持同意的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：，

【答案】(1)有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）由卡方的计算，与临界值比较即可作出判断，

（2）由二项分布的概率公式即可求解分布列，由期望的计算公式即可求解期望.

【详解】（1）提出假设：成年人对该问题的态度与性别无关．

根据列联表中的数据可以求得

．

因为当成立时，的概率约为0.01，

这里，

所以我们有99%的把握认为，对该问题的态度与性别有关．

（2）从该市成年人中随机抽取1人持同意态度的概率为，

由题意，，

，

，

，

，

因此，随机变量的数学期望为

解法一：．

解法二：．

21．下表是某农村居民年至年家庭人均收入单位：万元．

(1)利用相关系数判断与的相关关系的强弱当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到；

(2)求关于的线性回归方程，并预测年该农村居民的家庭人均收入．

附：对于一组数据、、…、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，样本相关系数．   参考数据：．

【答案】(1)与的相关关系较强

(2)；预测年该农村居民的家庭人均收入为万元

【分析】（1）根据表中数据以及相关系数的公式即可求解，然后根据范围可判断强弱；

（2）根据最小二乘法即可求回归方程，然后根据回归方程预测.

【详解】（1）由表中数据可得，，

，

，，，

则，故与的相关关系较强；

（2）由（1）可知，，

所以，

，

关于的线性回归方程为，

当时，，

故预测年该农村居民的家庭人均收入为万元．

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

【答案】(1)答案见解析；

(2)或.

【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；

（2）分别讨论，由的单调性及零点存在定理判断零点即可.

【详解】（1），

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，是减函数，时，是增函数，

综上， 时，在上是增函数，时，在上是减函数， 在上是增函数.

（2）当时，由 (1)得在上是增函数，不符合题意；

当时，由(1)得.

①当时，，只有一个零点，不符合题意；

②当时，，故在有一个零点，

又在上是增函数，

设，，，

∴在单调递增，，

∴在单调递增，，

设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增，

∴，即，

故在有一个零点，故函数有两个零点；

③当时，，故有一个零点，

又在上是减函数，，由②得，

故在有一个零点，故函数有两个零点,

综上，的取值范围是或.

【点睛】方法点睛：1. 零点个数可根据函数单调性及零点存在定理判断；

2. 对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及.