2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二下学期第二次月考数学（文）试题含答案

府谷中学高二年级第二学期第二次月考

数学试题（文科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则

A．    B．    C．   D．

2．若（a，，i为虚数单位），则

A．     B．     C．     D．

3．命题“，”的否定是

A．，      B．，

C．，      D．，

4．在等差数列中，为其前n项和，若，则

A．102     B．112     C．192     D．204

5．若x，y满足约束条件，则的最大值是

A．－1     B．1     C．6     D．

6．等于

A．     B．     C．     D．2

7．已知函数）在上恰有3个零点，则整数ω的值为

A．2     B．3     C．4     D．5

8．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（参考数据）

A．0.72    B．0.70    C．0.68    D．0.66

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．3     B．2     C．1     D．

10．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为

A．     B．    C．     D．

11．已知，，，则a，b，c的大小关系是

A．   B．   C．   D．

12．如图，正方体的棱长为2，点M是棱的中点，点P是正方体表面上的动点．若，则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为

A．   B．   C．   D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，满足，，则           ．

14．已知函数的图象在点处的切线为l，则直线l的倾斜角为           ．

15．设等比数列的前n项和为，若，则           ．

16．已知定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则           ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，△ABC的面积为，求c的值．

18．（本小题满分12分）

2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月22～28日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主体．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度200户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据分成以下9组：，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值，并估计该地区居民的月均用水量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）设该地区有居民20万户，估计该地区居民的月均用水量不低于14吨的户数；

（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为和的两组中，按月均用水量用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，已知在菱形ABCD中，，E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折成，连接和，F为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求异面直线与CF所成角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，判断的零点个数．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点．

（1）求E的方程；

（2）若直线l与圆O：相切，且直线l交E于M，N两点，试判断∠MON是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

（二）选考题；共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

（1）求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；

（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，求满足条件的实数a的取值范围．

府谷中学高二年级第二学期第二次月考·数学试题（文科）

参考答案、提示及评分细则

1．A

因为，，所以．故选A．

2．A

由，所以，解得，，所以．故选A．

3．D

命题的否定是改变量词，否定结论，故“，”的否定是“，”．故选D．

4．A

由得，所以．故选A．

5．C

由题意作出可行域，如图所示．

转化目标函数为，平移直线，得当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，z最大，所以．故选C．

6．A

．故选A．

7．B

函数在上恰有3个零点，则，解得，因而整数．故选B．

8．D

由题意，半衰期所用时间为50天，即，则，所以质量为的锶89经过30天衰减后，质量大约为．故选D．

9．C

由三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥A-BCD，则．故选C．

10．B

取C的一条渐近线方程为，所以，所以，即，所以．故选B．

11．B

构造函数，，当时，，单调递增，所以，即．故选B．

12．C

取的中点G，的中点H，连接，HG，，，CM，如图所示．

因为四边形是正方形，又点M是棱的中点，点H是的中点，易得．

因为正方体，以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．同理可得，，又，，平面，所以DM⊥平面．所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为．

因为正方体的棱长为2，所以，所以的周长为．故选C．

13．

由已知可得，所以．

14．

由题意得，所以，设直线l的倾斜角为，则，所以．

15．

法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以；由，得，即，所以，解得，则．

法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列，其公比为，设，显然，则，，所以，所以．

16．－1

因为函数的定义域为R，且，所以函数是定义在R上的奇函数，所以，解得，即当时，，；因为为偶函数，所以，即的图象关于直线对称，又满足，所以，则，，即函数是周期函数，周期为4，则．

17．解：

（1）因为，

所以，

又，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以．

（2）因为△ABC的面积为，

所以，所以，

又，

所以．

所以，与联立，得．

18．解：

（1）由图可知：，

解得，

该地区居民的月均用水量

，

即估计该地区居民的月均用水量为10.48吨．

（2）月均用水量不低于14吨的用户的频率为，

所以，估计20万用户中月均用水量不低于14吨的用户数为1.4万户．

（3）的频率为，有（户），

的频率为，有（户），共18户，

所以在组中抽取（户），记为，，

在组中抽取（户），记为，，，，

则从中抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共有15种基本事件，

抽取的这2户居民来自不同组有，，，，，，，，共8种．

所以抽取的2户来自不同组的概率．

19．

（1）证明：

在菱形ABCD中，，

△ABC为等边三角形，又E为BC的中点，

所以，，

而，EC，平面，

故AE⊥面，

又面，所以平面平面．

（2）解：

设G是的中点，连结FG，EG，又F为的中点，

则且，

而且，

所以且，

即四边形FGEC为平行四边形，故，

所以与CF所成的角为∠AGE或其补角．

在中，，所以，

故异面直线与CF所成的角为60°．

20．解：

（1），

①当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；

②当时，令，得，或，令，得，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，令，得，或，令，得．

所以在，上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，

所以，，

又，，

所以在，，上各有一个零点，

故在R上的零点个数为3个．

21．解：

（1）设E的方程为，过，，

所以，

解得，，

所以E的方程为．

（2）当直线l的斜率不存在时，易得直线l的方程为或．

若直线l的方程为则，或，，所以，所以；

若直线l的方程为，则，或，，所以，所以．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

因为直线l与圆O：相切，

所以，即．

由得，

所以，，

所以，

所以．

综上，∠MON为定值，该定值为．

22．解：

（1）将代入l:，得，

所以直线l的极坐标方程为，

由，得，

又，，，

所以，即，

所以圆C的一个参数方程为（为参数）．

（2）点到直线l的距离，

则，

所以，即．

23．解：

（1），即．

当时，，解得；

当时，，解得．

当，，不等式无解；

当，，解得．

故不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号，

又，

所以，且，

解得或，即实数a的取值范围．