2022-2023学年江西省赣州市赣县中学西校区高二下学期5月阶段性测试数学试题含答案

2022-2023学年江西省赣州市赣县中学西校区高二下学期5月阶段性测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：D.

2．函数的图象在处的切线斜率为（    ）

A．6 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率.

【详解】因为，所以，，

所以的图象在处的切线斜率为6，

故选：A．

3．数列的一个通项公式可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.

【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.

故选：D．

4．二项式的展开式中的第4项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】写出通项公式，令，求出第4项.

【详解】因为，所以.

故选：A．

5．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案.

【详解】由，，，得，，

设是平面的一个法向量，则即,

取，则，故，则与共线的向量也是法向量，

经验证，只有C正确..

故选：C．

6．2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高二班主任从网上找到6个与此相关的短视频a，b，c，d，e，f，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则a，b，c至少选1个，且d，e，f至少选1个的方法种数为（    ）

A．8 B．18 C．27 D．36

【答案】B

【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解.

【详解】分两类选取：a，b，c选2个，d，e，f选1个，或a，b，c选1个，d，e，f选2个，所以不同选法种数为.

故选：B

7．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】变形为对任意，恒成立，构造，求导得到其单调性和极值，最值情况，得到，从而得到，求出实数a的取值范围.

【详解】由题意得对任意，恒成立，

设，，

令，解得，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，所以，解得.

故选：C．

8．数列满足，，则数列的前60项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，分奇偶可得，，再利用分组求和法求解作答.

【详解】由，得，，而，

因此数列的所有项均为1，有，

，

所以数列的前60项和为，

故选：B

二、多选题

9．已知等比数列中，，则（    ）

A． B．

C．当时， D．的前10项积为1

【答案】ACD

【分析】AB选项，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而判断AB；C选项，求出通项公式，得到时，；D选项，利用等比数列性质进行计算.

【详解】A选项，由，得等比数列的公比，所以，A正确；

B选项，，B错误；

C选项，，当时，，C正确；

D选项，由，可得的前10项积为，D正确.

故选：ACD．

10．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的离心率为

C． D．的渐近线方程为

【答案】AB

【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.

【详解】在中，，，，，A正确；

的离心率，B正确；

由双曲线的定义或，C错误；

的渐近线方程为，即，D错误.

故选：AB．

11．正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来描述，已知地的年降水量（单位：）服从正态分布，其中，，，已知，则下列估计正确的是（    ）

A．地的年平均降水量为

B．地的年降水量不超过的概率大于

C．地的年降水量超过的概率大于

D．地的年降水量不低于的概率与不超过的概率相等

【答案】AD

【分析】通过正态分布的参数的含义，以及提供的概率可求答案.

【详解】在中，为平均数，A正确；

地的年降水量不超过的概率为，不超过的概率小于，B错误；

地的年降水量超过的概率，C错误；

正态曲线关于直线对称，D正确.

故选：AD．

12．已知点A，B是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（    ）

A．若直线AB与y轴垂直，则a的取值范团是

B．若点A，B分别在第二与第四象限，则a的取值范围是

C．若直线AB的斜率恒大于1，则a的取值范围是

D．不存在实数a，使得A，B关于原点对称

【答案】ABD

【分析】A选项，根据题意得到不单调，求导，根据根的判别式得到不等式，求出取值范围；B选项，根据题意得到存在，，使得，，即，，求出，，从而得到；C选项，变形得到，故是增函数，求导后由根的判别式得到答案；D选项，假设存在a使A，B关于原点对称，设，得到方程组，求出，，与s，t不同时为0矛盾，D正确.

【详解】对于A，若直线AB与y轴垂直，则不单调，因为，所以，，A正确；

对于B，若点A，B分别在第二与第四象限，设，，则存在，，使得，，即，，

因为，所以，故，则必有

因为，所以，当且仅当时，等号成立，则必有，即，

综上，B正确；

对于C，设，，则，

即，设，则是增函数，

所以恒成立，由，解得，C错误；

对于D，假设存在a使A，B关于原点对称，设（s，t不同时为0），则，

所以，两式相加得，解得，

把代入得，这与s，t不同时为0矛盾，

所以假设不成立，D正确.

故选：ABD．

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质比如三次函数零点问题，极值点情况等.

三、填空题

13．命题“”的否定为           .

【答案】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

所以“”的否定为“”，

故答案为：.

14．已知定义域为的函数的导函数为，若的图象如图所示，期的极小值点为      ．

【答案】3

【分析】根据的图象得到的正负，得到的单调性，得到极值点情况，求出答案.

【详解】由图可得，时，，，单调递增，

时，，，单调递减，故1为函数的极大值点，

时，，，单调递增，故3为函数的极小值点，

时，，，单调递减，故10为函数的极大值点，

所以的极小值点为3．

故答案为：3

15．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为      ．（写出一个即可）

【答案】（答案不㫿一）

【分析】求出点D坐标及到三个正方形项点的距离可得答案．

【详解】  

由图可得，，，，，，

所以，，，，

所以，，

，，

，，

点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，

所以圆D的一个方程为．

故答案为：（答案不唯一）．

16．若函数在上既有最大值M，又有最小值m，则的最小值为      ．

【答案】

【分析】利用导数判断出的单调性，结合在上最值情况可得答案.

【详解】因为，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

且时，，

所以时，有最小值，

当且时，有最大值，，

又，，

所以n的最大值为7，又，

所以的最小值为．

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性及最值情况，考查了学生的思维能力、运算能力.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；

（2）在（1）的基础上的得到方程，求出k的值.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，

得，

解得，，

所以．

（2）因为，

所以，

因为，所以，

即，又，所以．

18．已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点F到直线的距离为．

(1)求C的标准方程；

(2)若直线与C交于与点O不重合的A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到答案；

（2）设，，根据直线OA，OB的斜率之积得到，联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，验证后得到答案.

【详解】（1）由题意得，

点F到直线的距离，

所以，C的标准方程为．

（2）设，，则，，

所以直线OA，OB的斜率之积为，

所以，

由题意知，由得，

代入得，

所以，．

此时，所以．

19．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．

(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；

(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案；

（2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值.

【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为，

BAT中有3个的概率为，

故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为．

（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，

，，

，，

所以X的分布列为

．

20．已知有数．

(1)若，判断的单调性；

(2)若在上有零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性；

（2）参变分离，得到，构造，，求导得到单调性，得到，从而得到实数a的取值范围.

【详解】（1）定义域为，

当时，，，

时，单调递减，时，，单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）由得，

设，，则，

在上单调递减，所以，

所以，

所以实数a的取值范围是．

21．已知数列的前n项和为，，．

(1)求，并证明数列是等比数列；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）由与的关系可得答案；

（2）求出利用裂项相消可求得其前项和.

【详解】（1）令中，得，，

所以，，

因为，

所以．

所以，

又时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列；

（2）由（1）得，，

所以．

所以．

【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用求出是等比数列.

22．已知函数．

(1)若，求的最小值；

(2)若方程有解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；

（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．

【详解】（1）当时，，

，

设，则，

在上单调递增，且，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以；

（2）即，

即，

设，则，

，设，则，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，即，在上单调递增，

所以方程有解即在上有解，

有解，即有解，

设，则，

时，，单调递增，

时，，单调递减，所以，

当时，，

所以，即实数a的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：构造函数利用导数判断出单调性及求出最值是本题解题的关键点，构造函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用.