2022-2023学年江西省南昌市部分学校高二下学期5月调研测试数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市部分学校高二下学期5月调研测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：D.

2．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解.

【详解】由抛物线，可得，所以，

所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为

所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.

故选：C.

3．已知数列 满足，则下列各数中属于数列中的项的是（    ）

A．3 B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据数列满足，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】因为数列满足，

对于A中，令，解得，所以A不符合题意；

对于B中，令，解得，所以B不符合题意；

对于C中，令，解得，所以C不符合题意；

对于D中，令，解得，所以D符合题意.

故选：D.

4．二项式的展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．21 D．42

【答案】B

【分析】由题意可求出的展开式中含项的系数，即可得答案.

【详解】二项式的展开式中的常数项即的展开式中含项的系数，

即，

故选：B.

5．圆O：与圆C: 的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【答案】C

【分析】利用两圆外切的定义判断即可.

【详解】圆是以为圆心，半径的圆，

圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，

则，=3，所以两圆外切，

故选：.

6．半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】如下图所示，

所以.

故选：A.

7．函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，将问题等价转化为有2个不等于1，且不相等的零点，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而即可求解.

【详解】因为有3个不同的零点，

则有2个不等于1，且不相等的零点，

由，所以在上单调递减，在上单调递增，

则当时，函数取最小值，

因为当时，，当时，

要使函数有2个不等于1，且不相等的零点，

则有且，解得或，

所以实数a的取值范围是，

故选：C.

8．已知数列为等比数列，函数的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】设，可得出，可得出，分析数列的单调性，即可得出当的前项乘积最小时，的值.

【详解】设，则，

则，

因为数列为等比数列，

所以，

由，，可得，则，

所以，

当时，，当时，，

所以当的前项乘积最小时，的值为或，

故选：D.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由求导法则判断各选项正误即可.

【详解】A选项，，故A错误；

B选项，，故B错误；

C选项，，故C正确；

D选项，，故D正确.

故选：CD

10．下列结论正确的是（    ）

A．已知事件A，B，，则

B．椭圆的离心率为

C．若随机变量，则

D．已知点，，，则平面的一个法向量的坐标可以是

【答案】BD

【分析】分别根据条件概率的计算公式，椭圆的离心率，正态分布的性质和平面的法向量等相关知识逐项进行求解即可.

【详解】由条件概率的计算公式可知，，故选项A错误；

在椭圆中，因为，

故该椭圆的离心率，故选项B正确；

因为随机变量X～N（1，4），则，故选项C错误；

由点，，得，，

设平面的一个法向量的坐标为，则，取得，

故选项D正确，

故选：BD.

11．已知数列{}满足，，，且其前n项和为，则（    ）

A．存在，使得

B．存在，使得

C．存在，且，使得

D．

【答案】ACD

【分析】根据题意逐项进行判断即可求解.

【详解】的前若干项依次为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，...，

所以，故选项A正确；

由，，可得，故选项B错误；

由，可得，故选项C正确；

，故选项D正确，

故选：ACD.

12．已知函数有两个不同的极值点，则（    ）

A．的取值范围是 B．是极小值点

C．时， D．

【答案】BCD

【分析】根据已知条件，求导得出有两个不同正实根，设，根据单调性和极值，就能判断选项ABC；利用极值定义得到两个式子，两式相除即可判断D.

【详解】因为，所以，

因为有两个不同的极值点，则有两个不同正实根，

即有两个不同正实根，

设，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

且时；时，.

所以有两个不同的极值点时，的取值范围是，A错误；

当时，，

，在上单调递减，

当时，，，

，在上单调递增，故是极小值点，B正确；

当时，，

，，C正确；

由及，

得及，

两式相除得，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为           .

【答案】

【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可.

【详解】命题“”为真命题，

则有判别式，解得.

故答案为：.

14．古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为              .（用数字作答）

【答案】

【分析】利用分布计数原理和排列组合的相关知识进行求解即可.

【详解】先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为.

故答案为：.

15．若定义域为的函数满足，则不等式的解集为       .

【答案】

【分析】设，根据题意得到在上单调递增，把转化为，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】由时，函数满足，可得，

设，则，故在上单调递增，

由，即，即，

所以，解得，所以的解集为.

故答案为：.

16．已知数列{}满足，，则数列{}的前61项的和为             .

【答案】591

【分析】由得到 ，再分组求和.

【详解】解：由得，，

所以，

所以数列的前61项的和为：

，

.

故答案为：591

四、解答题

17．已知等比数列的公比，且.

(1)求{}的前n项和；

(2)若等差数列的前2项分别为，，求的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程求得，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解；

（2）由（1）得，，得到的公差，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】（1）解：因为等比数列的公比，所以，可得，

所以，所以.

（2）解：由（1）得，，所以的公差，

所以.

18．已知函数.

(1)求曲线在处的切线的方程；

(2)求过原点O与曲线相切的直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.

（2）设出切点坐标，根据切线斜率和导数列方程，求得切点坐标，进而求得切线方程.

【详解】（1）因为，所以.

，，

所以曲线在处的切线方程为，

即直线的方程为.

（2）设过原点的直线与曲线切于点.

则的斜率，

所以，整理得，所以，

所以，

所以直线的方程为，即.

19．已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.

(1)求C的标准方程；

(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据题意得到，得出，再由C的一条渐近线经过点，求得，联立方程组，求得，即可求解；

（2）设直线的斜率为，且，代入曲线方程得到，由，求得，得出直线的方程为，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案.

【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，

又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，

联立方程组，解得，

所以双曲线C的标准方程为.

（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，

设直线的斜率为，且，

则，两式相减得，所以，

因为的中点为，所以，所以，解得，

直线的方程为，即，

把直线代入，整理得，

可得，该方程没有实根，所以假设不成立，

即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.

20．已知函数.

(1)证明:，有；

(2)设，讨论的单调性.

【答案】(1)证明见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，证明即可；

（2），分、与讨论的单调性即可.

【详解】（1）因为，

所以，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以.

（2）因为,

所以，

因为，令，得或，

若，则，时，，单调递减；

和时，，单调递增；

若，则，，在上单调递增；

若，则，时，，单调递减；

和时，，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递减；在和上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增.

21．随着用户对生鲜电商行业的信任度加深，生鲜电商行业市场规模迅速扩大，已知2022年中国消费者偏好的生鲜电商平台前三名分别为A，B，C，下图每个圆形区域内数字之和表示中国消费者偏好该平台的用户数占中国生鲜电商平台所有用户数的比例（以下简称占比），两个圆的公共区域内的数字之和表示中国消费者同时偏好这两个平台的占比，三个圆的公共区域内的数字表示中国消费者同时偏好这因三个平台的占比.

(1)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，求该用户偏好A平台，也偏好B平台的概率；

(2)从偏好B平台的所有用户中随机抽取3人，求这3人中至少有2人也偏好C平台的概率；

(3)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取4人，记抽取的4人中偏好B的人数为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)20%

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据图形直接求解即可；

（2）先求出偏好B平台的所有用户中该用户也偏好C平台的概率，然后再求解即可；

（3）根据题意得出，列出分布列，代入均值的计算公式即可求解.

【详解】（1）从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，

该用户偏好A平台，也偏好B平台的概率为=20%.

（2）从偏好B平台的所有用户中随机抽取1人，该用户也偏好C平台的概率，

所以3人中至少有2人也偏好C平台的概率为.

（3）从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，

该用户偏好B的概率，所以，

，

所以X的分布列为

.

22．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.

已知数列的前n项和为，，且满足__________.

(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)设，数列{}的前n项和为.

（i）求；

（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析，

(2)（i）；（ii）不存在，理由见解析

【分析】（1）若选①，由题可得，与相减并整理可得，，两式相减即可得，可证明结论，后结合，可得通项公式；若选②，由题可得，，两式相减结合，可得，再结合，可证明结论并求出通项公式；

（2）（i）由（1）可得，后由裂项求和法可得答案；（ii）即判断方程组是否有正整数解集即可.

【详解】（1）证明:若选①，由得，

两式相减得，

整理得，所以，

两式相减得，所以，所以是等差数列.

由得，所以，又，所以的公差，

则.

若选②.由得，，

两式相减得，因为，所以，所以，

因为，中取得，所以，

所以，

.

综上，，

所以是等差数列，.

（2）（i）由（1）得，

所以，

所以，

（ii）假设存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列，

则，且，因为.

所以.

所以，这与p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列.