2022-2023学年江苏省常州高级中学高二上学期10月第一次调研数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省常州高级中学高二上学期10月第一次调研数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州高级中学高二上学期10月第一次调研数学试题

一、单选题
1．直线的倾斜角是（    ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】A
【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：A
2．若点、、在同一直线上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用结合斜率公式可求得实数的值.
【详解】因为、、在同一直线上，则，即，解得.
故选：A.
3．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.
【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.
故选：B
4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案．
【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，
则圆的方程为，
∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点，
∴，∴，
∴圆的方程为，
当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴，
∴当水面下降1米后，水面宽度为．
故选：C．

5．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
【答案】A
【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【详解】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
6．在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.
【详解】设，则，
由可知，
∵AC垂直平分PQ，
∴，
∴当时，PQ取得最小值，
又，∴，
∴．
故选：B．
.
7．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（    ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】设圆的切线为、，由得，即，
再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．
【详解】由题意，圆心到直线的距离为
（半径）
故直线和圆相交；
当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，
才是最大的角，
不妨设切线为，，则由，
得，
；
当时，，
设，
，
解得：，
设，
如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，
线段长度的最大值为
  
故选：C
8．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.
【详解】由已知，可根据条件做出下图：

因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.

二、多选题
9．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】AD
【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案.
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，
则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，
又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．
故选：AD．

10．已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（    ）
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的离心率
C．△的周长为
D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可.
【详解】椭圆，
，
椭圆的长轴长为，故A正确，
椭圆的离心率，故B错误，
的周长为：，故C正确，
设，则，且，
故，
又，则，
故，

故的取值范围是，故D正确，
故选：ACD.
11．已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（    ）
A．的最大值为
B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
C．当最大时，的面积为
D．的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答.
【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2，
直线方程为，圆心在直线上，
对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A正确；
对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得，
因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确；
对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时，
，，C错误；
对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确.
故选：ABD
12．已知点P是坐标平面xOy内一点，若在圆O：上存在A，B两点，使得（其中k为常数，且），则称点P为圆O的“k倍分点”，则（    ）
A．点不是圆O的“3倍分点”
B．在直线：上，圆O的“倍分点”的轨迹长度为
C．在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”
D．若点P是圆O的“1倍分点”，则点P也是圆O的“2倍分点”
【答案】BCD
【分析】根据圆O的“k倍分点”的定义，得到各线段的关系，进而表示各线段的长度，然后在三角形中利用余弦定理求解判断.
【详解】A.如图所示：
  
若点是圆O的“3倍分点，则，设，，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则，解得，故点是圆O的“3倍分点”，故错误；
B. 如图所示：
  
过点O作弦AB的垂线OD，当点P在直线：上，P是圆O的“倍分点”，则，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，因为的斜边上的高为，
所以当P在直线l上时， ，所以 ，又因为直线l的方程为 ，所以，故正确；
C.如图所示：
  
在圆D：上取一点P，若点P是圆O的“2倍分点”，则有，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，即 ，综上： ，
所以在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”，故正确；
D. 如图所示：
  
设，若点P是圆O的“1倍分点”，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，
此时点P是圆O的“1倍分点”，当点A，B互换位置时，点P是圆O的“2倍分点”，故正确,
故选：BCD

三、填空题
13．直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】设出直线的方程，代入，求出答案.
【详解】设直线的方程为，将代入可得，
解得，故直线的方程为.
故答案为：
14．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.
故答案为：.
  
15．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 .
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.

16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，
N为圆E：上任意一点，
  
故，当且仅当共线时等号成立，
故
，
当且仅当共线时等号成立，
而，故，
即的最小值为，
故答案为：

四、解答题
17．已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.

【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.
【详解】（1）因为直线过点，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或.
18．已知圆，直线，．
(1)若圆上存在两点关于直线对称，求实数的值；
(2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意知直线过圆心，代入点的坐标求出的值；
（2）求出圆心到直线的距离和被圆所截得的弦长，再求出直线被圆所截得的弦长与圆心到直线的距离，列方程求出的值．
【详解】（1）解：圆的圆心为，
圆上存在两点关于直线对称，
则直线过圆心，，解得；
（2）解：由直线，得，
则圆心到直线的距离为，
被圆所截得的弦长为；
又直线、被圆所截得的弦长之比为，
被圆所截得的弦长为，
由，得；
则圆心到直线的距离，
整理得，
解得．
19．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切．

(1)求的方程；
(2)点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B．
①求四边形面积的最小值；
②求证：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析．

【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程；
（2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，写出此圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标．
【详解】（1）依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+40的距离d＝r，
∴，
∴圆C的方程为x2+y2；
（2）①解：连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴．
∴当PO取最小值为8时，；

②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为（8，b），，
则线段OP的中点坐标为（4，），
∴以OP为直径的圆方程为，
即x2+y2﹣8x﹣by＝0．
∵AB为两圆的公共弦，
∴由得直线AB的方程为，b∈R，即8(x)+by＝0，
则直线AB恒过定点(，0)．
20．已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据焦点和离心率即可求解,进而得椭圆方程，
（2）联立两直线方程可得坐标，根据中点坐标公式可得,将代入椭圆，即可得斜率，进而由直线方程和椭圆方程联立即可利用弦长公式求解.
【详解】（1）由题设，得.                                                
又，所以.                                      
所以 ，                                              
所以椭圆的方程为，
（2）设，.      
由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，                                     
所以直线的方程为 ，                                    
所以  得                                 
所以                                                  
因为点恰好是与的中点，
所以，                           
因为点在椭圆上，所以                     
解得，                                                    
当时，由，得                         
所以，所以               
同理时，
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点的圆N与圆M外切．

(1)求圆N的标准方程；
(2)若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；
(3)直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P，（不重合），满足？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，

【分析】（1）由题得到，N在直线上，设，半径为r，根据两圆外切，表示出MN，解出b和r即可；
（2）易得直线l的斜率存在，不妨设l的方程为，根据l被两圆截得的弦长相等，可得，解出k即可；
（3）设，由得，与直线MN的方程为联立即可．
【详解】（1）解：由题意知，圆N的圆心N在直线上，设，半径为r，
因为圆N与圆M外切，且圆M的圆心，半径为，
所以，即 ①，
又，即 ②，
由①可得，
将②代入，可得，即①②得，
代入②得，
解得或（舍），所以，
故所求圆N的标准方程为.
（2）解：当l的斜率不存在时，不符合题意．
当l的斜率存在时，设l的方程为，
因为l被两圆截得的弦长相等，所以，
即，解得或，
故直线l的方程为或；
（3）解：设，由可知，，
即，所以，
即，
整理得① ，
又直线MN的方程为② ，
由①②联立解得，，或，，
由P，Q两点不重合，故，不合题意，舍去，
故存在点符合题意．
22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N．
①求证：存在定点B，使得；
②求当取得最小值时，直线PN的方程．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.

【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值，
（1）由两圆的位置关系求圆C方程；
（2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标；
，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程．
【详解】（1）圆，即，
所以圆心为，圆的半径．
由圆与圆相切于点 ，
得，，即
解得或
由直线l：与圆C有公共点，，
所以
所以圆C的方程为.
（2）直线l分别与x轴和y轴交点，．
：设点，，则，
由得，，
即，由点P为圆C上的动点得，即
故存在定点，使得．
：由得，，所以，
易知，在圆C外，在圆C内，
所以线段BN与圆C有公共点，即中“”能成立．
所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，取得最小值，
此时，直线PN的方程为，即．