2022-2023学年江西省重点中学九江六校高二上学期第一次联考数学试题含答案

2022-2023学年江西省重点中学九江六校高二上学期第一次联考数学试题

一、单选题

1．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.

【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，

故选C.

【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题

2．已知三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.

【详解】设，

若点与点共面，

则，

对于选项A：，不满足题意；

对于选项B：，满足题意；

对于选项C：，不满足题意；

对于选项D：，不满足题意；

故选：B.

3．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为

A．14 B．16 C．20 D．48

【答案】B

【详解】由间接法得，故选B．

4．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得，再根据条件概率公式求解即可.

【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，

则为该集成块不能正常工作，

所以，，

所以

故选：A

5．下列命题中，错误的命题有（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为

【答案】A

【分析】根据二项分布的数学期望和方差的公式可判断A；由方差的性质可判断B；与正态分布的对称性可判断C；由正态分布的对称性求出，再由独立事件的乘法公式求出甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，可判断D.

【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，

，解得.所以A错误；

根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，

方差恒不变，所以B正确；

由正态分布的图象的对称性可得，所以C正确；

由某次考试的标准分服从正态分布，则，

甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确.

故选：A.

6．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值.

【详解】

解：，点的轨迹是以为直径的圆，

又点在圆上，故点是圆与圆的交点，

因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，

解得：．

的最小值为4．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点的轨迹是以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题.

7．已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ）

A．4 B． C．或 D．

【答案】C

【分析】结合抛物线的定义以及求得的值.

【详解】依题意，

当时，过作，交于，

根据抛物线的定义得.

当时，过作，交于，

根据抛物线的定义得.

综上所述，的值为或.

故选：C

8．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．

【详解】根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.

∴

∴

故选D.

【解析】离散型随机变量的分布列

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分

二、多选题

9．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ）

A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大

C．存在常数项 D．有理项共有6项

【答案】BCD

【分析】令即可求出的值，再写出展开式的通项，再一一判断.

【详解】解：令，得，则或（舍去）.

∴的展开式的通项.

对于A，，故A错误；

对于B，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；

对于C，令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；

对于D，当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确.

故选：BCD.

10．下列命题正确的是（    ）

A．若随机变量，且，则

B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件

C．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于

D．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点

【答案】BC

【解析】A.根据二项分布求期望和方差公式，直接求解；B.根据互斥，对立事件的定义直接判断；C.首先理解表示的事件，再求概率；D.样本数据中每个点到回归直线的距离的平方和最小即可，可以一个点都不过.

【详解】A.，，，则，故A不正确；

B.根据互斥事件的定义可知与是互斥事件，且，也是对立事件，故B正确；

C.由题意可知，表示前两个是白球，第三个是黑球，则，故C正确；

D.回归直线方程也可以一个点都不经过，故D不正确.

故选：BC

11．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（    ）

A．四面体外接球的表面积为

B．点B与点D之间的距离为

C．四面体的体积为

D．异面直线与所成的角为

【答案】ACD

【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确，

【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径．

因为，则，

所以四面体外接球的表面积为，故A正确；

分别作，垂足为E，F，则．

由已知可得，．因为，则

，所以，故B错误；

因为，

则．同理．又，平面，

则平面，所以，故C正确；

由已知可得，，，

则，则，得，

所以异面直线与所成的角为，故D正确，

故选：ACD．

12．已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是（    ）

A．若的周长为，则椭圆的方程为

B．若的面积最大时，，则

C．若椭圆上存在点使，则

D．以为直径的圆与以为直径的圆内切

【答案】ABD

【分析】利用椭圆的定义求出椭圆的方程，可判断A选项的正误；确定点的位置，利用椭圆的离心率公式可判断B选项的正误；设点，由求得，由化简求得椭圆的离心率的取值范围，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，的周长为，则，，

即椭圆的方程为，所以A正确；

对于B选项，当的面积最大时，点在短轴顶点处，

又，所以在中，，所以B正确；

对于C选项，设点，，，

，

因为点在椭圆上，则，可得，

所以，，得，

由于，可得，所以，，即，

可得.

因此，椭圆的离心率的取值范围是，C选项错误；

对于D选项，设的中点为，设圆与圆的半径分别为、，则，

则两圆的连心线的距离为，

所以两圆内切，D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.

（1）若，则圆与圆内含；

（2）若，则圆与圆内切；

（3）若，则圆与圆相交；

（4）若，则圆与圆外切；

（5）若，则圆与圆外离.

三、填空题

13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为      .

【答案】

【分析】利用古典概型的概率公式直接计算.

【详解】从12名候选人中选4名同学组成学生会，有种选法；

12人中有2名人来自甲班，有种选法.

所以甲班恰有2名同学被选到的概率为.

故答案为：.

14．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=      .

【答案】/

【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率

【详解】由A，B两点在直线上，设，

因为A，B两点关于原点对称，所以，

由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，

代入双曲线方程得，所以，

所以，所以离心率为.

故答案为：

15．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ．

【答案】

【详解】由题意，

所以，

当且仅当时等号成立.

16．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：

该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关，请根据上表数据将如下列联表补充完整后，求出随机变量的观测值           .

附：，其中.

【答案】

【分析】利用已知条件，填写列联表，求出.

【详解】由题意得列联表：

由上表可得.

故答案为：.

四、解答题

17．一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.

(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；

(2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据条件概率的求法，找到第第1次取出的是白球的概率与第1次取出的是白球，第3次取到黑球的概率，求其比值即可；

（2）取到白球个数服从二项分布，根据独立重复实验的概率公式与均值公式求解即可

【详解】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，

事件为“第3次取到黑球”，

；

（2）设事件为“取一次球，取到白球”，

则，这3次取球结果互不影响，

则，所以，

其分布列为：

.

18．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元.设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）由全概率公式求得次品率；

（2）可能值是，求出其概率的分布列，由期望公式计算期望．

【详解】（1）设B=“任取一个零件为次品”，=“零件为第i台车机床加工”，，则3，且，，两两互斥，

依题意得，P(.

由全概率公式，得

（2）由题意得X的可能取值为1，2，3，

则，，，

所以随机变量X的分布列为

所以数学期望．

19．某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程；

附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；

②参考数据：，，，.

(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）.

①；

②；

③.

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.

【答案】(1)

(2)设备的性能等级为丙级

【分析】（1）利用条件，根据公式直接求出线性回归方程中的系数和即可得到结果；

（2）根据图表数据，求出，，的概率，再根据条件即可求出结果.

【详解】（1）因为，，所以，

故，

，

∴.

（2）由题知，，所以

，，，，，，

又根据图表得，

，

，

∴设备的性能等级为丙级.

20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，点在棱上.

(1)判断与是否垂直，并说明理由；

(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

【答案】(1)，理由见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，利用线面垂直的性质可得；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，表示出线面角的关系式，结合二次函数知识可得范围.

【详解】（1），证明如下：

平行四边形中，.

中，.

.

又平面，

平面平面.

又.

（2），

又，

两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.

则

，，

点在棱上，设，

，

设平面的法向量为，则，即

，令，得，

由于，

设直线与平面所成角为，则

，

，令，

当时，；当时，，

.

综上，.

21．已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为.

（1）求该椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，且，求证：直线与某个定圆相切，并求出定圆的方程.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【分析】（1）由短轴顶点到焦点距离为、离心率和椭圆关系求得，由此可得椭圆方程；

（2）由知；⑴当直线斜率不存在时，设，代入椭圆方程可求得坐标，由构造方程可求得，确定直线与圆相切；⑵当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入可整理得到，知原点到直线距离为，由此可知直线与圆相切；综合两种情况可得结论.

【详解】（1）椭圆的短轴顶点到焦点的距离为，，

椭圆的离心率，，，

椭圆的标准方程：；

（2）证明：，，则，

⑴当直线的斜率不存在时，设，

代入椭圆方程得：，不妨令，，

由得：，解得：，

此时，与圆相切；

⑵当直线的斜率存在时，设，，，

联立得：，

则，化简得：…①

由韦达定理得：，，

则，

由，即可得：，

整理得：，满足①式，，即原点到直线距离为，

直线与圆相切；

综上所述：直线与圆相切.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；

④根据题目所要求的求解内容进行整理求解.

22．已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点.

(1)求直线和的斜率之积；

(2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点.

①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；

②证明：为定值，并求出该定值.

【答案】(1)；

(2)①是，；②证明见解析，.

【分析】（1）根据斜率公式结合条件即得；

（2）①设点，直线，联立椭圆方程利用韦达定理结合条件表示出，进而即得；②根据斜率公式结合条件可得，即得；或利用韦达定理法，表示出直线方程结合条件即得.

【详解】（1）设点，则，

设直线和的斜率为，则

；

（2）①设点，直线，

联立方程得整理得，

，

，

所以，

即，

因为，所以，

化简整理可得，即，

所以直线l过定点；

②解法一；设直线和直线的斜率为，

由（1）得，由①得，

所以，所以；

解法二：设点，直线，

联立方程得整理得，

所以，

直线，

联立两直线方程可得，

所以；

②解法三：：设点，直线，

联立方程得整理得，

，

联立两直线方程可得，因为.

所以

，

所以.