山东省济南市第一中学2024-2025学年高二上学期10月学情检测数学试题

这是一份山东省济南市第一中学2024-2025学年高二上学期10月学情检测数学试题，共15页。试卷主要包含了如图，若直线的斜率分别为，则等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.空间四边形，连接分别是的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
3.若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
B.
C. D.
4.已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ）
A.或1 B.3或 C. D.1
6.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A.四点共面 B.四点共面
C.四点共面 D.五点共面
7.已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（ ）
A. B. C.2 D.
8.已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分
9.若直线的斜率，直线经过点，且，则实数的值为（ ）
A.1 B.3 C.0 D.4
10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，且分别为的中点，则
A.平面
B.平面
C.点到直线的距离为
D.点到平面的距离为
11.在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为
B.的最小值为
C.的最大值为
D.若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为__________.
13.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则__________.
14.在空间中，已知平面过点和及轴上一点，若平面与平面的夹角为，则__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分
15.（13分）已知向量.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
16.（15分）一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与线段有公共点，求直线斜率的取值范围.
17.（15分）如图，在三棱柱中，平面，点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到直线的距离.
18.（17分）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
19.（17分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
济南一中2023级10月份阶段性学情检测
高二数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.【答案】C
【分析】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可.
【详解】分别是的中点，.
.
故选：C
2.答案A
解析设直线的倾斜角分别为，
则由图知
所以，
即.
3.【答案】C
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对于选项D：，因此向量，共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
4.D
5.【答案】A
【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值，再根据，列出方程，即可求得y，从而可得答案.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，所以，
所以当时，，则，当时，，则，
所以或1.
故选：A.
6.【答案】B
【分析】根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】由，得，
即，故共面.
又因为三个向量有同一公共点，所以共面.
故选：B
7.【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可.
【详解】，
：斜三棱柱所有棱长均为.
.
.
故选：D.
8.【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，利用，求出的范围.
【详解】解：如图建立坐标系，
设
则，
，
，
，
即，所以，
当时，所以，所以.
故选：C.
9.答案AB
解析因为，
所以，
即，
解得或.
10.【答案】AD
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.
【详解】解：以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示
由题意可知，，
所以.
因为，所以，即
，所以，即.又，
所以平面，故A正确；
设平面的法向量为，则
，即，令，则，所以.
因为所以，故B不正确；
设点到直线的距离为则，即，所以点到直线的距离为，故C不正确；
设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：AD.
11.【答案】BCD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，，
，设，，所以，
，
，所以时，，A错；
，
，
所以时，，B正确；
，同理，
所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转.D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.
13.答案
14.答案
解析平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则则，取，
则，
而.
又，故.
四､解答题：本大题共5小题，共77分
15.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用向量的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解；
（2）根据已知条件及（1）的结论，利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，
所以实数的范围为.
16.（1）；（2）或.
17.【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用空间向量坐标法即可解决空间点到直线的距离问题.
【详解】（1）证明：连接，交于点，则为中点.
因为点为中点，
所以，
因为平面平面
所以平面；
（2）如图，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
可得
设夹角为，则，故可得，
又，设点到直线的距离为，则.
18.答案
（1）；（2）.
解析（1）设，
由题意知.
，
，即的长为.
（2），
又，
，
即与夹角的余弦值为.
19.【答案】（1）
（2）在侧棱上存在点且当时，使得平面⊥平面.
【分析】
对于（1），取中点为，先由条件证得⊥平面，后可得答案.
对于（2），由（1）分析可知，建立以为原点的空间直角坐标系，找到平面，平面法向量，后可得答案.
【详解】（1）证明：取棱长的一半为单位长度.
则在中，，根据余弦定理，
得
得，故AB⊥AC.
又，平面平面，故平面
又平面面，则平面⊥平面.
取中点，连接.
因是等边三角形，则，又平面，
平面平面，平面平面，故平面.
得是与平面所成的角.
在直角三角形中，，
，.
故，即为所求.
（2）假设存在点，使得平面⊥平面.
如图，以A为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，
设是平面的法向量，则
，取.
设，其中.
则
连接EF，因AC平面，，平面PAC∩平面
故EF，则取与同向的单位向量.
设是平面的法向量，
则，
取.
由平面平面，知，有，解得.
故在侧棱PD上存在点且当时，使得平面平面.
【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
C
D
A
B
D
C
AB
AD
BCD