2022-2023学年天津市南仓中学高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市南仓中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可.

【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.

故选：A.

2．若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，，则（    ）．

A．5 B．13 C．5或13 D．1或5

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义可得选项.

【详解】由题意可知，，，，

若，则，或13．

故选：C.

3．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离，列方程求出的值.

【详解】依题意可知，，

故选：C

4．设，则“”是“直线与直线”平行的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；

反之，两直线平行时，，解得或，

由上知时，两直线不平行，

时，两直线方程分别为，，平行，

因此，本题中也不是必要条件．

故选：D．

5．已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的的值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列和等比数列下标和的性质即可求解.

【详解】为等比数列，，

，，；

为等差数列，，

，，，

∴.

故选：B.

6．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.

【详解】，

由题意可得.

故选：B

7．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答.

【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，

由得：，又，

于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，

所以这条弦所在的直线方程是.

故选：B

8．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案.

【详解】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，

设直线与半圆相切于点，则

，解得（舍去）或，

所以，

因为，，所以，

因为直线与曲线恰有两个交点，

所以，

所以，

故选：A

9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出圆心到双曲线的渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式求出的值，由此可求得双曲线的离心率的值.

【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，

由点到直线的距离公式可得，解得，则，

因此，双曲线的离心率为.

故选：B.

二、填空题

10．过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为          ．

【答案】4

【分析】根据题意，分析可得点在圆上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果.

【详解】因为，所以点在圆上，

∴切线l的斜率，

则切线l的方程为，变形可得，

所以直线l在y轴上的截距为4；

故答案为：4.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题.

11．已知等差数列中，，，则              ．

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为，，所以，所以，所以

故答案为：

12．已知等差数列的通项公式为，其前项和为，则当取得最大值时的值为            ．

【答案】5

【分析】根据通项公式，设时，，利用，计算即可求解.

【详解】，设时，，则

，得，解得，得

故当时，取最大值.

故答案为：5

13．数列的前项和为，若，则=            .

【答案】

【分析】利用裂项相消法求和即可.

【详解】解：因为，

所以.

故答案为：.

14．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是           ．

【答案】

【分析】先求出公共弦的方程，再利用弦长公式可求公共弦的长度.

【详解】由题意所在的直线方程为：，

即，因为圆的圆心，半径为，

所以圆心到直线的距离为1，所以．

故答案为：

15．已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，且，，成等比数列，，则          ．

【答案】4

【分析】由题意结合等比数列的性质、等差数列通项公式、前n项和公式可得，再由等差数列的通项公式即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，由题得,

所以，所以，

所以.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

三、解答题

16．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：

(1)求圆心为的圆的标准方程；

(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；

(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得.

(2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值.

(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程.

【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，

所以 解得：

所以圆的标准方程为.

（2）因为圆到直线的距离为

 ，

所以直线与圆相离，

所以的最小值为.

（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为

根据点到直线的距离公式得：，解得.

当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8

所以直线方程为或.

17．已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和；

(3)令，数列的前n项和，求证：．

【答案】(1)，；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，根据已知条件列方程组可求出公差和公比，从而可求出数列和的通项公式；

（2）由（1）可得，再利用错位相减法可求出，

（3）由（1）可得，再利用裂项相消法可证得结论.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为．

因为，

所以，解得，

所以数列的通项公式为．

，由，得，

所以数列通项公式为．

（2）

，①

，②

①②，

所以

（3）证明：因为，

所以

所以

因为

所以．

18．如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)

(3)存在，且.

【分析】（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.

（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.

（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.

【详解】（1）过作，垂足为，则，

如图，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，， ，，，

为的中点，，则，

设平面的一个法向量为，，，

则，令，解得：.

，即，

又平面，所以平面．

（2）设平面的一个法向量为，，，

所以，令，解得.

所以.

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

（3）假设线段上存在一点，设，，.

，，则

又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量

，

化简得，即，

，，故存在，且.

19．已知数列的前项和为，且.在数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)证明：是等比数列.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由可求得数列的通项公式；

（2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且.

当时，，

当时，，

也满足，故对任意的，.

（2）解：当时，，可得，所以，，

且，则，，，

以此类推可知，对任意的，，所以，，

因此，数列是公比为的等比数列.

20．如图，椭圆经过点，且离心率为.

(I)求椭圆的方程；

(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），

问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

【答案】(1) (2)2

【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得

，

由已知，设，

则，

从而直线与的斜率之和

.

【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.