2022-2023学年浙江省杭嘉湖金四县区高二下学期6月学考模拟考试数学试题含答案

2022-2023学年浙江省杭嘉湖金四县区高二下学期6月学考模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4}

【答案】C

【分析】由集合的并运算即可求解.

【详解】由题意可得.

故选：C

2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的加法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，该复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.

故选：B.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的定义域以及根式的性质即可求解.

【详解】由题意可知的定义域需要满足，解得，

故定义域为，

故选：D

4．已知，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由向量平行的坐标表示可求，再由向量坐标运算公式求.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

5．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解.

【详解】由可知为第三象限的角，故,

由，又，解得，

故选：C

6．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，为非零常数.则下列说法不正确的是（    ）

A．两组样本数据的极差相同 B．两组样本数据的标准差相同

C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的平均数相同

【答案】D

【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断D选项；利用方差公式可判断BC选项.

【详解】设样本数据、、、的平均数为，方差为，

样本数据、、、（为非零常数）的平均数为，方差为，

对于A选项，不妨设，则样本数据、、、的极差为，

对于样本数据、、、（为非零常数），

则，

所以，样本数据、、、（为非零常数）的极差为，

所以，两组样本数据的极差相同，A对；

对于D选项，，

所以，两组样本数据的平均数不相同，D错；

对于BC选项，

，

所以，两组样本数据的方差相同，这两组数据的标准差也相同，BC都对.

故选：D.

7．“”是“方程）有正实数根”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的关系可得）有正实数根满足，即可判断.

【详解】由于函数的对称轴为，且开口向上，所以有正根，则必须,解得，

因此“”是“”必要不充分条件，

故选：B

8．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可.

【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，

所以圆锥的底面周长为，则圆锥的母线长为2，

故圆锥的高为，

所以圆锥的体积为，

故选：A．

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解.

【详解】因为，

所以，

故选:D.

10．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：）

A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质即可求解.

【详解】由题意可知，两边取对数得，

故选：C

11．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.

【详解】由题可得，，则，

所以

，

当且仅当，即时，取得等号，

故选:C.

12．在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（    ）

A．52π B．54π C．56π D．60π

【答案】A

【分析】三棱锥的外心必定在过一个三角形的外心与这个三角形所成的面垂直的垂线上，从而确定球心的位置，结合题意，利用几何关系求出外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与，

过两点分别作平面和平面的垂线，交于点，

则就是外接球的球心，连接，

则为二面角的平面角，即，

则是等边三角形，其边长为，，

在中，，所以，

又由，所以，

所以四面体的外接球的表面积为.

故选：A.

二、多选题

13．已知，则下列选项中能使成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.

【详解】对于A，由可得，A错误，

对于B，由可得，B错误，

对于C，由可得，C错误，

对于D，由可得，D正确，

故选：BD.

14．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于110分为优秀，则（    ）

A．频率分布直方图中的a的值为0.008

B．这次考试中优秀的学生有100人

C．这次考试成绩的众数约为100

D．这次考试的中位数约为95

【答案】ACD

【分析】根据频率分布直方图中面积之和为1可求解a，进而可求解中位数，众数等.

【详解】对于A,，故A正确，

对于B,优秀的学生为，故B错误，

对于C,这次考试成绩的众数约为,故C正确，

对于D,设中位数为，则，故D正确，

故选：ACD

15．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件“两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（    ）

A． B．

C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件

【答案】BC

【分析】根据古典概型概率公式求事件和事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD.

【详解】随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，

随机事件包含的样本点的个数为，

所以，A错误；

随机事件包含的样本点的个数为，

所以，B正确，

事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，

又，即事件为必然事件，

所以事件A与事件B是对立事件，C正确；

随机事件包含的样本点的个数为，

所以，

随机事件为不可能事件，所以，

所以，

所以事件A与事件B不是相互独立事件，D错误，

故选：BC.

16．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（    ）

A．3是函数的一个周期

B．函数的图象关于直线对称

C．函数是偶函数

D．

【答案】AC

【分析】根据已知可推得，即可得出A项；由为奇函数，即可得出函数的对称性；易知，结合，即可推得，得出C项；根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项.

【详解】对于A项，因为，所以，所以3是函数的一个周期，故A正确；

对于B项，因为，为奇函数，所以，

所以，点是函数图象的对称中心，故B错误；

对于C项，因为，为奇函数，所以，

所以.

又因为，所以，

所以，

所以，函数是偶函数，故C项正确；

对于D项，由C知，函数是偶函数，所以.

又3是函数的一个周期，

所以，，，

所以，，

所以，，故D错误.

故选：AC.

【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案.

三、填空题

17．已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数           .

【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可)

【分析】由条件结合幂函数的性质确定函数的解析式即可.

【详解】因为是幂函数，且在上单调递增，

故可设，（，互质），

又，所以为奇数，为偶数，

故为符合条件的一个函数，

故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可).

四、双空题

18．已知，为单位向量，且，则           ，向量在向量上的投影向量为           .

【答案】         

【分析】计算出、的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，利用投影向量的定义可求得向量在向量上的投影向量的坐标.

【详解】因为，为单位向量，则，，

因为，则，可得，

所以，向量在向量上的投影向量为

.

故答案为：；.

五、填空题

19．哥德巴赫猜想的部分内容如下：任一大于的偶数可以表示为两个素数（素数是在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）之和，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是           .

【答案】

【分析】列举出所有不超过的素数，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】不超过的素数有：、、、、、、，共个数，

从上述个数中任意抽出两个不同的数，所有的基本事件有：、、、

、、、、、、、、、

、、、、、、、、，共种，

其中，事件“所抽取的两个数之和等于”所包含的基本事件有：、，共种，

故所求概率为.

故答案为：.

20．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是           .

【答案】

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用函数在区间上存在最值，以及函数在上单调分别求出的取值范围，取交集可得的取值范围.

【详解】因为，

当时，因为，则，

因为函数在上存在最值，则，解得，

当时，，

因为函数在上单调，则，

所以，，其中，解得，

所以，，解得，又因为，则.

当时，；当时，；当时，.

又因为，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

六、解答题

21．在△ABC中，内角的对边分别为，，且___________.在①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)求；

(2)若，求.

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）若选①，由，根据同角关系可得，

由条件证明，再结合余弦定理求，

若选②，由，根据同角关系可得，

由条件证明，由此可得，再结合数量积的定义求；

（2）由条件和，结合正弦定理求，再由正弦定理求.

【详解】（1）由已知，

选择条件①

，所以，

∴，

∵

∴，

所以；

选择条件②

因为，∵，

∵，

所以，即，

又，所以，又，

∴为锐角，

∵.

∵，

所以，所以；

（2）∵（为的外接圆直径）

∴，

所以，

所以，

所以，

∴

22．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点.

(1)求证：平面PAB；

(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）方法一：利用线面平行的判定定理直接证明；方法二：利用空间向量的坐标运算证明线线垂直即可证明；

（2）方法一：利用二面角的定义以及三棱锥的定义求解；方法二：利用空间向量的坐标运算求出三棱锥的高，进而求体积.

【详解】（1）证明：

取中点,连,

是中点,∴且,

又∵且.∵且,

∴四边形为平行四边形，,

又∵平面，⊂平面，∴平面．

（2）取中点，连，过作交于，连,

∵分别是中点，∴，又∵平面．

∴⊥平面,平面,

∴，又∵，平面，

∴⊥平面，平面，

∴，∴是平面与平面的夹角的平面角.

∴.

,

∴.

∴,

解法二：

（1）∵⊥平面，，∴两两垂直，

以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系.

设，则有

则，

又⊥平面，平面，所以，

又∵平面，

∴⊥平面，∴是平面的一个法向量,

∵，

又∵平面，∴平面.

（2）⊥平面，∴平面的一个法向量,

设平面的一个法向量为,

则有，

不妨设，则，即,

,

∴到平面的距离,

∴.

23．已知函数.

(1)若，求m的值：

(2)若方程恰有一个实根，求m的取值范围：

(3)设，若对任意，当时，满足，求m的取值范围.

【答案】(1)3

(2)

(3)

【分析】（1）由结合对数的运算即可求解，

（2）根据相等关系转化为有唯一根，即可分类讨论求解，

（3）将已知转化为，利用复合函数单调性进一步转化为对恒成立，令，利用二次函数的单调性求得最值即可求解.

【详解】（1）

（2）方程  

由①可得

当时，方程有唯一解，代入此时 ，∴不满足②

当时，方程有两相等解 ，此时 ，∴不满足②.

当且时，方程有两不等解 ，

若 满足

若满足

则若 是唯一解，则有

若是唯一解，则有

综上，当时方程恰有一个实根.

（3）当时，恒成立，则有 ,

由已知，由复合函数的单调性知在上单调递减，

所以

∴对恒成立

令，∴在上单调递增，

∴

∴实数的取值范围是 .