2022-2023学年江苏省盐城市东台创新高级中学高二下学期2月月检测数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市东台创新高级中学高二下学期2月月检测数学试题

一、单选题

1．过，两点的直线的倾斜角是（    ）

A．45 B．60 C．120 D．135

【答案】A

【分析】首先根据两点坐标求出直线斜率，进而根据求出直线的倾斜角.

【详解】已知，，则，

设直线的倾斜角为，则，得.

故选：A

2．椭圆的短轴的长是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.

【详解】椭圆的，，且焦点在轴上，

所以椭圆的短轴长为，

故选：C.

3．正项等比数列中，，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

【答案】D

【分析】利用等比数列的性质运算即可.

【详解】因为是等比数列，

所以.

故选：D.

4．已知函数，为的导函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出，进而可求得的值.

【详解】，则，因此，.

故选：B.

5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，故，即，故渐近线方程为.

【解析】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

6．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ）

A． B．133 C． D．61

【答案】A

【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．

【详解】因为，，，

所以

故选：A．

7．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（    ）

A．191 B．193 C．195 D．197

【答案】C

【分析】利用等差数列前项和公式求解．

【详解】设有人，第人赠与钱数为，是等差数列，，公差，

则，，

故选：C．

8．已知，则的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】利用不等式(时取等号)和（时取等号）的结论即可求解.

【详解】设，则

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

当时，即，

设，则，

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

所以，即，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．－1是函数的极小值点

B．－4是函数的极小值点

C．函数在区间上单调递减

D．函数在区间上先增后减

【答案】BC

【分析】根据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.

【详解】由图象可知，在上递减，在上递增，

所以不是极值点，A选项错误；是极小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.

故选：BC

10．已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点（2，0）

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为

【答案】BCD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；

当 时，直线与直线垂直，故B正确：

∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：

当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，

故选：BCD.

11．如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到.

【详解】由题意得：四面体为正四面体，

故，

故，A正确；

因为分别是的中点，

所以，，且，，

故，B错误；

，C正确；

取的中点，连接，

因为均为等边三角形，

所以⊥，且⊥，

因为，且平面，

所以⊥平面，

因为平面，

所以⊥，⊥，

故，D正确.

故选：ACD

12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（    ）

A．双曲线C的离心率为 B．的面积为

C．内切圆半径为 D．的内心在直线上

【答案】BD

【分析】按照AB两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公式可判断B；利用等面积法可判断C；由双曲线的定义结合切线长定理可判断D.

【详解】△为等边三角形,若在同一支，

由对称性知轴，，，.

,；

,

设的内切圆半径为r，则，解得；

因为，则可得，，，，则内切圆半径，故内心的横坐标为，内心在直线上.

若分别在左右两支，则，

则，解得，离心率，

，

设的内切圆半径为r，则，解得；

设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，

则，又，则所以，所以的内心在直线上；

所以结论一定正确的是BD.

故选：BD.

三、填空题

13．已知数列满足，若，则        ．

【答案】/0.5

【分析】利用数列的递推公式求出前4项，推导出是以3为周期的数列，由此能求出.

【详解】数列满足，，

∴，，，

∴是以3为周期的数列，

∵，∴.

故答案为：.

14．过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为      ．

【答案】x-2y-5=0

【分析】本题考查在某点切线问题，根据，可得直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程．

【详解】根据题意易知直线得斜率存在，则，即．

则直线得方程为：即：x-2y-5=0．

故答案为：x-2y-5=0．

15．表示双曲线，则实数t的取值范围是             ．

【答案】

【分析】讨论焦点的位置：在x轴上或y轴上，分别列方程组，可求t的取值范围.

【详解】当焦点在x轴上时，，解得；当焦点在y轴上时，，解得；

故答案为：

16．如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则      ．

【答案】

【分析】记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可.

【详解】设 ，，， 则 ，

底面是边长为1的正方形，且，，

则有，，，，，，

则 ，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，其图象上点处的切线的斜率是-5.

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大与最小值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），.

【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过函数图象上点处的切线的斜率是．列出方程组，求解，即可．

（Ⅱ）化简函数的解析式，求出导函数，求解函数的单调区间，然后转化求解函数的最值即可．

【详解】解：（Ⅰ）

所以由已知得

由，

解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ），，

令，则或，

令，则，

所以在和上递增，在上递减，

所以；

，（2），．

所以，.

18．已知直线：，直线：.

（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若，求直线的方程.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.

(2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.

【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，

此时则，解得，

②若直线不过原点，则斜率为，解得.

因此所求直线的方程为或

（2）①若，则解得或.

当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；

当时，直线：，直线：，满足题意；

因此所求直线：

【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.

19．已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用可得关于的递推关系，整理得到，从而为等差数列，利用公式可求其通项.

 （2）利用等差数列的前项和的公式得到，故，利用裂项相消法可求的前项和后可求其该和的范围为，从而可求的最小值.

【详解】（1）时，，又，所以，

当时，

，

作差整理得：，

因为，故，所以，

故数列为等差数列，所以．                

（2）由（1）知，所以，

从而

．

所以，故的最小值为．

【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

20．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；

（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.

【详解】（1）由抛物线过点，且，

得

所以抛物线方程为；

（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，

设，联立

得，

所以，

所以，

所以

因为，

所以，

则，

，即，

解得或，

又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，

不符合题意，故舍去；

所以实数的值为.

21．在平面直角坐标系中，已知点.点M满足.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)直线l经过点，与轨迹C分别交于点M､N，与直线交于点Q，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知得点M的轨迹C为椭圆，根据椭圆定义可得方程；

（2）直线的方程设为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及线段长公式进行计算即可.

【详解】（1）由椭圆定义得，点M的轨迹C为以点为焦点，长轴长为4的椭圆，

设此椭圆的标准方程为，则由题意得，

所以C的方程为；

（2）设点的坐标分别为，

由题意知直线的斜率一定存在，设为，则直线的方程可设为，

与椭圆方程联立可得，

由韦达定理知，

所以，

，

又因为，

所以

又由题知，

所以，

所以，

所以，得证.

22．已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数的两个零点为，，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证，即要证，即证．构造函数，求导后利用函数的单调性求解即可.

【详解】（1）解：因为恒成立，所以，

即恒成立．

令，则，

易知在上单调递增，且．

所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故．

（2）证明：由题意可知方程的两根为，．

令，则的两个零点为，．

．

当时，，在上单调递增，不存在两个零点；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，得．

设，则，．

因为，所以，．

要证，即要证，即证．

令

，．

则，所以在上单调递减，所以．

因为，所以．

因为，，且在上单调递减，

所以，即，故成立．