2022-2023学年江苏省南通市通州区石港中学高二下学期第三次阶段检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市通州区石港中学高二下学期第三次阶段检测数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市通州区石港中学高二下学期第三次阶段检测数学试题 一、单选题1．已知a为实数，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据，但，得到答案.【详解】，但，比如，则“”是“”的充分而不必要条件.故选：A2．设复数满足，则的虚部是（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】因为，所以，所以的虚部是，故选:C.3．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．【详解】设 ①， ，②，与向量(1，0)夹角为钝角，，③，由①②③解得，，故选：D．4．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有(   )A．36种 B．78种 C．87种 D．90种【答案】B【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选,然后根据多面手进行分类即可得到结果.【详解】根据题意有三种情况:(1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:种;(2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:种;(3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:种;共有:种.故选:B.5．下列命题错误的是（    ）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于B．设，且，则C．线性回归直线一定经过样本点的中心D．随机变量，若，则【答案】B【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D.【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，所以，则，故B错误；根据线性回归直线的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；随机变量，若，则，故D正确；故选：B.6．如图，已知点在正方体的对角线上，.设，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将正方体放入空间直角坐标系中,利用求解即可【详解】如图建系,设正方体的棱长为1,则,,,,设,所以,,,因为,所以,所以,所以,因为,所以,解得或,因为在对角线上,所以,则,故选:C【点睛】本题考查空间向量法处理立体几何中的参数问题,考查运算能力7．已知定义在上的函数满足，且当时，成立，若，的大小关系是A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数及题设条件得出在上的单调性，结合函数的奇偶性确定在上单调性，根据单调性即可比较的大小关系.【详解】由知函数为偶函数，设，则为奇函数，当时，，所以在上为递增函数，所以在上是递增函数．因为，所以，即，故选A．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，关键在于构造新函数，通过已知函数的奇偶性，判断的各种性质，可得在上是递增函数，因此只需比较自变量的大小关系，通过分别对各个自变量与临界值作比较，判断出三者的关系,即可得到函数值的大小关系．8．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚【答案】C【分析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案．【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率，乙获取96枚金币的概率，则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；故选：C．【点睛】本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 二、多选题9．在的二项展开式中，下列说法正确的有（    ）A．常数项为第三项B．展开式的二项式系数和为729C．展开式系数最大项为第三项D．展开式中系数最大项的系数为240【答案】CD【分析】写出的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A，求出展开式的二项式系数和可判断B，解出不等式组可判断CD.【详解】的二项展开式的通项为，令得，所以常数项为第四项，故A错误；展开式的二项式系数和为，故B错误；由可得，所以，所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为，故C、D正确；故选：CD.10．“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了位来店就餐的客人，制成如下表所示的列联表，通过计算得到的观测值为已知，，则下列判断正确的是（    ）. 认可不认可岁以下岁以上含岁A．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”B．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”C．有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【分析】根据列联表求出客人认可“光盘行动”的频率，可判断AB；再根据的观测值的范围并结合临界值，可判断CD．【详解】由列联表得到在该餐厅用餐的客人中，客人认可“光盘行动”的频率约为，由频率估计概率得，在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”，故A正确，B错误；因为的观测值为，且，故有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说在犯错误的概率不超过的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，故C正确，D错误．故选：AC．11．已知函数，下列说法中正确的有（    ）A．函数的极大值为，极小值为B．若函数在上单调递减，则C．当时，函数的最大值为，最小值为D．若方程有3个不同的解，则【答案】ABD【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论.【详解】的定义域为令，得或2，所以在单调递增，在上单调递减，故B正确，极大值，极小值，故A正确，方程有3个不同的解，则，D正确，，当时，函数的最大值为，最小值为，故C不正确，故选：ABD12．在长方体中，已知，，点P在线段上运动（不含端点），则下列说法正确的是（    ）A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为C．平面平面D．若点P是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线与所成角可判断A，利用点到平面的距离的向量求法可判断B，由题可得平面，进而判断C，利用球的截面的性质可得三棱锥的外接球的球心是中点，进而可判断D.【详解】以D为原点，，，所在方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，∴，，∴，，A错误；设平面的法向量为，，，∴，令，则，又，所以点到平面的距离，从而B正确；由题可得，，，从而平面，平面，因此平面平面，C正确；由点P是线段的中点，则是直角三角形，外接圆圆心为AD中点，是直角三角形，外接圆圆心为中点，过两个中点分别作所在平面的垂线，这两条垂线的交点刚好是中点，即三棱锥的外接球的球心是中点，又，因此外接球半径为，球表面积为，D正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点作曲线的切线，写出一条切线的方程       ．【答案】（答案不唯一）【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程.【详解】，，设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为.故答案为：（或）.14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为          .【答案】【分析】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，注意的发生是不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出后，再由条件概率公式计算．【详解】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，则，，，故答案为：．15．抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是           .（）【答案】16【分析】根据正太分布的原则进行计算.【详解】根据正太分布的原则可知：，得：，因为为正整数，故的最大值为16.故答案为：16 四、双空题16．在正三棱柱中，已知，在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为      ，平面与所成二面角的余弦值为        ．【答案】          【分析】根据题意画出图形，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，由面面垂直的性质可证明DG⊥面，解直角三角形ADG求出即可；连接，由正三棱柱的性质得就是平面与所成二面角的平面角，计算出、的长做比值可得答案.【详解】如图所示，过B作BF⊥AC，所以是的中点，过作，所以是的中点，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，平面面，所以面，所以平面面，故DG⊥面，∴∠DAG就是与平面所成的角，可求得，，设与平面所成的角为α，故；连接，由正三棱柱的性质得，因为是的中点，所以，由（1），所以就是平面与所成二面角的平面角，由（1），，由勾股定理得，所以平面与所成二面角的余弦值为故答案为：①；②. 五、解答题17．已知，且(1)求n和的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)0 【分析】（1）由题意利用通项公式，求得和 的值．（2）对于所给的等式，两边对求导数，再令，可得结论．【详解】（1），且，即，，（2）对于，两边对求导数，可得，再令，可得18．如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．相关公式：，参考数据：．回归方程中，【答案】(1)相关系数，可用线性回归模型拟合y与x的关系(2)，吨 【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．【详解】（1）由折线图得如下数据计算得：，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系（2），所以回归方程为，当时，，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为吨19．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.（1）求证：平面BCD；（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析，（2）【分析】（1）由平面ABC，可得，由可得，然后由线面垂直的判定定理可结论，（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以，因为，所以平面BCD；（2）解：因为平面ABC，平面ABC，所以，所以两两垂直，所以以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则,因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，直线AD与平面CEF所成角为，则，所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为20．年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生人对于线上教育满意，女生中有名表示对线上教育不满意． 满意不满意总计男生  女生  合计  （1）完成列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在名学生中抽取名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．附公式及表，其中．【答案】(1)填表见解析，有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)分布列见解析，期望.【分析】(1)完善列联表，并用表中数据计算的观测值，再与临界值表比对即可得解；(2)求出抽取的8名学生中男女生人数，计算出的可能值及其对应的概率即可作答.【详解】(1)抽取的名学生中，男生人数为，女生人数为65，由此得列联表： 满意不满意总计男生2555女生5065合计8040的观测值：，所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)抽取的120名学生中，对线上教育满意的男生、女生各有30名，50名，利用分层抽样抽8人，其中男生有3人，女生有5人，于是得的所有可能值是：0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P的期望：.21．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为. 22．已知函数.（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，由已知得，分离参数得恒成立，由基本不等式可求得实数的取值范围；（2）由已知得方程有两个正根.且有且.令，代换得，令，运用导函数研究函数的单调性和最值，由此可得证.【详解】解：（1），在上为增函数，，有，整理得：恒成立，，由基本不等式知，，从而有，当且仅当时等号成立.，故.实数的取值范围为（2）有两个极值点，方程有两个正根.从而有且.且均为正数，可设.①，又当时，有恒成立，在上为减函数.从而有，令.又，即.②，由①②解得：.令，，在上为减函数，，，从而得证.【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.