2022-2023学年河南濮阳市第一高级中学高二下学期第三次质量检测数学试题含答案

2022-2023学年河南濮阳市第一高级中学高二下学期第三次质量检测数学试题

一、单选题

1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.

【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，

所以.

故选：D

2．已知等差数列满足，，等比数列满足，，则

A．32 B．64 C．128 D．256

【答案】B

【详解】由，可知数列,所以,故.故选B.

3．若随机变量，且，那么（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

【答案】B

【分析】由题意可得，根据即可求得．

【详解】由，得，由题意，正态曲线关于对称，

所以，

故选：B．

4．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象.

【详解】因为，所以，

当时，，单调递减，

当时，令，得，令得，

所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1，

只有选项B图象符合.

故选：B

5．下列说法中错误的是（    ）

A．回归直线恒过样本点的中心

B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1

C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位

D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变

【答案】D

【分析】根据回归直线方程恒过样本中心点，A正确；根据相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强，B正确；根据线性回归方程中，回归系数的含义可得C正确；根据平均数计算公式和方差计算公式计算可得D错误．

【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确；

对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，正确；

对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，正确；

对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得，，故错误；

故选：D

6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（    ）

A．172 B．183 C．191 D．211

【答案】C

【分析】由题意列出数列递推式，利用累加法求得数列通项公式，即可求得答案.

【详解】设该数列为，则，

故

，

也适合该式，

故第18项为，

故选：C

7．某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有（    ）

A．96种 B．144种 C．240种 D．384种

【答案】C

【分析】先将6名教师分成4组，然后再分配到学校即可.

【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种；

若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种，

故不同的安排方法共有种.

故选：C.

8．定义在R上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意分析可得，构建，求导，结合函数单调性解不等式.

【详解】∵，且，可得，

故原不等式等价于，

构建，则，

∵，则恒成立，

∴在定义域内单调递减，且，

则对于，解得，

故不等式的解集为.

故选：B.

二、多选题

9．已知数列，下列说法正确的有（    ）

A．若，则为递减数列

B．若，则为等比数列

C．若数列的公比，则为递减数列

D．若数列的前项和，则为等差数列

【答案】AB

【分析】对A计算可得答案；对B变形得可得答案；对C举例求出可得答案；对D求出可得答案.

【详解】对A，当时，，即，A正确；

对B，因为，，所以，由已知得，则是以3为公比的等比数列，B正确；

对C，当时，，，则，故不是递减数列，C错误；

对D，由得，

，故不是等差数列，D错误.

故选：AB.

10．若，，则下列式子中成立的为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据条件概率公式分析判断即可

【详解】由条件概率的计算公式知A错误；C显然正确；

B选项，，正确

D选项中，因为，所以,故D正确.

故选：BCD

11．已知离散型随机变量X的分布列如下：

其中，，则下列选项正确的有（    ）

A．

B．若，则椭圆的长轴长为

C．若数学期望，则双曲线的渐近线方程为

D．若数学期望，则方差.

【答案】ACD

【分析】由分布列的性质可以判断A；

根据椭圆长轴的定义即可判断B；

根据分布列的性质和期望公式解出m,n，进而求出渐近线方程即可判断C；

根据方差公式求出方差，进而判断D.

【详解】对A，由分布列的性质可知.A正确；

对B，若，则椭圆方程为，所以，长轴长为.B错误；

对C，，所以双曲线的渐近线方程为.C正确；

对D，结合C，.D正确.

故选：ACD.

12．设函数，则下列说法正确的有（    ）

A．不等式的解集为

B．函数在单调递增，在单调递减

C．当时，总有f(x)>g(x)恒成立

D．若函数有两个极值点，则实数的范围为（0，1）

【答案】AB

【分析】A选项，等价于解不等式；

B选项，由正负性可得选项正误；

C选项，注意到时，即可得选项正误；

D选项，等价于直线与函数图像有两个交点.

【详解】

A选项，，故A正确；

B选项，，，则

在单调递增，在单调递减，故B正确；

C选项，，，

则，故C错误；

D选项，，，因有两个极值点，则有两个变号零点，又，

即直线与函数图像有两个交点，

注意到，结合B选项分析可画出大致图像如下，则由图可得实数的范围为，故D错误.

故选：AB

三、填空题

13．的展开式中含项的系数为              ．

【答案】

【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即可得解；

【详解】因为，

又展开式的通项为，

所以含的项有，，

故含项的系数为.

故答案为：

14．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“”，26可以表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为         .

【答案】16

【分析】根据已知条件分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原理即可求解.

【详解】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，64，68，33，37，77；数字组合15， 19，24，28，64，68，37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合33，77，每组可以表示1个两位数，则共可以表示个两位数；

则总共可以表示个两位数.

故答案为：16.

15．已知数列满足，，，，则      ．

【答案】

【分析】根据递推关系式可整理得到，由此可得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.

【详解】，，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，

，即，.

故答案为：.

16．已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】利用向量的数量积计算公式，求得，根据题意转化为，进而转化为，设，利用导数求得函数的单调性，结合在上单调递减，进而求得的取值范围.

【详解】因为向量的夹角为的单位向量，则，

所以，

由对任意的，且，，

可得，所以，即，

设，即函数在上单调递减，

又因为时，，解得，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．在递增的等比数列中，，，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；

（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.

试题解析：

（1）设数列的公比为，

则，

又，

∴，或，（舍）.

∴，即.

故（）.

（2）由（1）得，.

∴

.

18．已知函数在处取得极值2.

(1)求a，b的值：

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)的值为，的值为2；

(2)最小值为2，最大值为.

【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；

（2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.

【详解】（1），，

在处取得极值2，

且，

即，解得，

此时，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

所以在处取得极值，符合题意，

所以的值为，的值为2；

（2）由（1）有，，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

时，在上单调递减，在上单调递增，

因此在处取得极小值，即为最小值，

，，，，

在处取得最大值，

综上所述，在上的最小值为2，最大值为.

19．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.

【答案】(1)41.5岁

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率和为1求，进而可求平均数；

（2）根据题意结合古典概型分析运算；

（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.

【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.

平均年龄（岁）.

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

（3）由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.

20．已知数列满足，．

(1)请判断数列是否为等比数列，并求出数列通项公式；

(2)已知，记数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)不是，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据两边同时减去，化简即可得出结果；

（2）根据错位相减法即可求出，即可进行证明.

【详解】（1）由条件，

可得，

即，

因，

所以数列是常数列且为常数为0，

于是，

所以数列通项公式．

（2）由（1）知，

于是，

则，

两式相减得

，

所以，

于是，原不等式得证．

21．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

试根据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别有关？

附：线性回归方程：，其中，；

相关系数：，相关系数时相关性较强，的相关性一般，时相关性较弱．

，．

【答案】(1)，电动汽车销量与年份的相关性较强

(2)能认为购买电动汽车与性别有关

【分析】（1）根据已知公式可得，由此可得结论；

（2）依据表格数据可得，由独立性检验的思想可得结论.

【详解】（1），

电动汽车销量与年份的相关性较强.

（2）零假设：购买电动汽车与性别无关，

由列联表数据得：，

根据小概率值的独立性检验可知：零假设错误，

即能认为购买电动汽车与性别有关，该推断犯错误的概率不超过.

22．设函数，.

(1)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；

(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在有两个不等实根，即可得到且，从而求出参数的取值范围；

（2）方法一：（分类讨论），当时根据说明即可，当时求出函数的导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解；

方法二：（分离参数），依题意可得恒成立，设，利用导数说明函数的单调性，参变分离可得恒成立，只需，设，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

因为存在两个极值点，所以在有两个不等实根，

所以且，解得且，

即实数的取值范围为.

（2）方法一：（分类讨论）

令，则，所以当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

所以在处取得极大值，又，所以恒成立，即，

当时，，符合题意；

当时，，

①若，对恒成立，在单调递增，，符合题意；

②若，则

（ⅰ）当，，恒成立，在单调递减，

只需，所以；

（ⅱ）当时，，恒成立，在单调递增，

只需，所以均符合题意；

（ⅲ）当时，，当，，当，，所以在单调递增，在单调递减，

则，而当时，，均成立，

所以符合题意.

综上所述，.

方法二：（分离参数）恒成立，

设，，则，由在单调递增，

得，即，所以在单调递增，所以，

所以恒成立，只需.

设，，则

设，，则，所以在单调递减，

所以，（或者由）,

从而得，故在单调递增，

所以，

所以.

【点睛】方法点睛，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．